8.8 超饱和设计

饱和设计定义为因子数（或设计变量数）$k=N-1$ 的分式因子设计，其中 $N$ 是试验次数。近年来，人们对构造和使用超饱和设计（supersaturated design）进行因子筛选试验表现出相当大的兴趣。在超饱和设计中，变量数 $k>N-1$，而且通常这类设计所含变量数比试验次数多得多。使用超饱和设计的想法最早由 Satterthwaite（1959）提出。他建议随机生成这类设计。在该论文的广泛讨论中，当时试验设计领域的一些权威人士——包括 Jack Youden、George Box、J. Stuart Hunter、William Cochran、John Tukey、Oscar Kempthorne 和 Frank Anscombe——批评了随机平衡设计。结果，超饱和设计在此后 30 年中很少受到关注。一个显著的例外是 Booth 和 Cox（1962）提出的系统超饱和设计。他们的设计不是随机生成的，这与 Satterthwaite 的建议有重大区别。他们用基本的计算机搜索方法生成设计，还提出了判断超饱和设计的基本准则。

Lin（1993）重新考察了超饱和设计的概念，激发了大量关于该主题的后续研究。许多作者提出了构造超饱和设计的方法。Lin（2000）作了很好的综述。大多数设计构造技术都是基于简单启发式的有限计算机搜索程序（例如见 Lin（1995）、Li 和 Wu（1997）、Holcomb 和 Carlyle（2002））。另一些作者提出了基于最优设计构造技术的方法。

超饱和设计的另一种构造方法基于已有正交设计的结构，包括使用 Hadamard 矩阵的一半分式（Lin，1993）以及枚举某些 Hadamard 矩阵的两因子交互作用。Hadamard 矩阵是元素为 -1 或 +1 的方阵，且各列相互正交。当试验中的因子数超过试验次数时，设计矩阵不可能正交。因此，因子效应的估计不相互独立。存在一个主导因子的试验可能会污染并掩盖另一个因子的贡献。超饱和设计的构造目的就是使因子之间的这种非正交程度最小。超饱和设计也可以用最优设计方法构造。JMP 中的定制设计器（custom designer）就是用这种方法构造超饱和设计的。

基于 Hadamard 矩阵一半分式的超饱和设计非常容易构造。表 8.34 是 $N=12$ 次试验、$k=11$ 个因子的 Plackett–Burman 设计，它也是一个 Hadamard 矩阵设计。表中已按最后一列（因子 11，即 $L$）的符号排过序。这一列有时称为分支列（branching column）。现在只保留该设计中 $L$ 列取正号（比方说）的那些试验，并把这组试验中的 $L$ 列删去。所得设计就是一个 $N=6$ 次试验、$k=10$ 个因子的超饱和设计。取 $L$ 列取负号的试验同样可行。这一做法总会产生 $N/2$ 次试验、$k=N-2$ 个因子的超饱和设计。如果感兴趣的因子少于 $N-2$ 个，还可以从完整设计中再删去一些列。

表 8.34 由 12 次试验的 Hadamard 矩阵（Plackett–Burman）设计导出的超饱和设计

超饱和设计通常用回归模型拟合方法来分析，例如我们前面说明过的前向选择法。在这一程序中，变量被逐个选入模型，直到没有其他变量看来有助于解释响应为止。Abraham、Chipman 和 Vijayan（1999）以及 Holcomb、Montgomery 和 Carlyle（2003）研究了超饱和设计的分析方法。一般地，这类设计可能会出现较大的第一类错误和第二类错误，但有些分析方法可以调成侧重第一类错误，从而使第二类错误率处于适中水平。在因子筛选的情形中，通常更重要的是不要把活跃因子排除掉，而不是断定不活跃因子重要，所以第一类错误不如第二类错误那么关键。不过，由于两类错误率都可能很大，使用超饱和设计时的指导思想应当是剔除掉大部分不活跃因子，而不是清楚地识别出少数重要（活跃）因子。Holcomb、Montgomery 和 Carlyle（2003）发现某些类型的超饱和设计在第一类错误和第二类错误方面表现优于另一些。一般地，由搜索算法产生的设计不如由标准正交设计构造出来的设计。用 D 最优性准则构造的超饱和设计通常也表现良好。

超饱和设计尚未得到广泛应用。不过，对于变量很多、且预期其中只有极少数会产生大效应的系统，它们是一种有趣而且可能很有用的试验方法。