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第 8 章补充材料

S8.1 分数因子分析的 Yates 方法

分析分数因子设计（fractional factorial design）时几乎总是要使用计算机程序。不过，我们也可以用 Yates 算法来分析一个 2k−12^{k-1} 分数因子设计：一开始先把数据看成是来自 k−1k-1 个变量的完全因子试验。这个完全因子试验的处理组合按标准顺序列出，然后在每个处理组合后面用括号附加一个（或几个）字母，就得到实际实施的处理组合。此后 Yates 算法照常进行。要识别实际估计出来的是哪些效应，只需把完全 2k−12^{k-1} 设计中各处理组合所对应的效应，乘以 2k−12^{k-1} 分数因子设计的定义关系（defining relation）。

下面用例 8.1 的数据在表 1 中演示这一做法。这是一个 24−12^{4-1} 分数设计。数据按因子 A、B、C 的完全 23 设计排列。然后加上括号中的字母 d，就得到实际实施的处理组合。例如，表中第二行估计的效应是 A+BCDA + BCD，因为 A 与 BCD 互为别名（alias）。

表 1 例 8.1 中 2IV4−12^{4-1}_{\mathrm{IV}} 分数因子设计的 Yates 算法

处理组合响应值(1)(2)(3)效应效应估计值 2×(3)/N2\times(3)/N
(1)45145255566−−
a(d)10011031176A+BCDA+BCD19.00
b(d)45135756B+ACDB+ACD1.5
ab651761−4AB+CDAB+CD−1.00
c(d)7555−3556C+ABDC+ABD14.00
ac602041−74AC+BDAC+BD−18.50
bc80−15−1576BC+ADBC+AD19.00
abc(d)96161666ABC+DABC+D16.50

S8.2 分数因子设计的折叠与部分折叠的进一步讨论

在教材中，我们说明了如何通过增加额外的运行来扩充一个分数因子设计，以便把互为别名的效应分离开。折叠（fold-over）是另一种设计，其规模与原分数设计相同。因此，如果原来的试验有 16 次运行，折叠就需要另外再做 16 次运行。

有时可以用少于另外 2k−p2^{k-p} 次运行的次数来扩充一个 2k−p2^{k-p} 分数因子设计。这种技术通常称为原设计的部分折叠（partial fold-over）。

例如，考虑表 2 所示的 25−22^{5-2} 设计。该设计的别名结构列在表下。

表 2 一个 25−22^{5-2} 设计

标准顺序运行顺序区组因子 A因子 B因子 C因子 D因子 E
21区组 11−1−1−1−1
62区组 11−11−11
33区组 1−11−1−11
14区组 1−1−1−111
85区组 111111
56区组 1−1−111−1
47区组 111−11−1
78区组 1−111−1−1
[A]=A+BD+CE[B]=B+AD+CDE[C]=C+AE+BDE[D]=D+AB+BCE[E]=E+AC+BCD[BC]=BC+DE+ABE+ACD[BE]=BE+CD+ABC+ADE\begin{array}{r l} & [\mathrm{A}] = \mathrm{A} + \mathrm{BD} + \mathrm{CE} \\ & [\mathrm{B}] = \mathrm{B} + \mathrm{AD} + \mathrm{CDE} \\ & [\mathrm{C}] = \mathrm{C} + \mathrm{AE} + \mathrm{BDE} \\ & [\mathrm{D}] = \mathrm{D} + \mathrm{AB} + \mathrm{BCE} \\ & [\mathrm{E}] = \mathrm{E} + \mathrm{AC} + \mathrm{BCD} \\ & [\mathrm{BC}] = \mathrm{BC} + \mathrm{DE} + \mathrm{ABE} + \mathrm{ACD} \\ & [\mathrm{BE}] = \mathrm{BE} + \mathrm{CD} + \mathrm{ABC} + \mathrm{ADE} \end{array}

现在假定在实施了表 2 的 8 次试验之后，发现最大的效应是主效应 A、B、D 以及 BC+DEBC + DE 交互作用。试验者认为其余所有效应都可以忽略。在这种情形下，对原设计作折叠并不是一个有吸引力的选择。回忆一下，当把一个分辨度 III 的设计按检验矩阵中所有符号取反的方式折叠时，合并后的设计是分辨度 IV 的。因此，BC 与 DE 交互作用在合并设计中仍然互为别名。也可以考虑只把某些个别列的符号取反，但这些做法基本上都要求再实施 8 次运行。

试验者想要拟合的模型是

y=β0+β1x1+β2x2+β4x4+β23x2x3+β45x4x5+εy = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \beta_{4}x_{4} + \beta_{23}x_{2}x_{3} + \beta_{45}x_{4}x_{5} + \varepsilon

其中 x1=A,x2=B,x3=C,x4=Dx_{1} = A, x_{2} = B, x_{3} = C, x_{4} = D，而 x5=Ex_{5} = E。请回忆，部分折叠是一种所包含的运行次数少于 8 次的设计，它可以用来扩充原设计，并使试验者能够拟合这一模型。为部分折叠选取运行点的一种做法是：从 25 中尚未使用的其余部分里选点，使上述回归方程中模型系数的方差达到最小。这种扩充策略基于第 11 章所讨论的 D 最优设计（D-optimal design）的思想。

Design-Expert 和 JMP 都可以利用这一策略来寻找部分折叠。程序给出的设计如表 3 所示。该设计完全消除了 BC 与 DE 交互作用之间的别名。

表 3 部分折叠后的分数设计

标准顺序运行顺序区组因子 A因子 B因子 C因子 D因子 E
21区组 11−1−1−1−1
62区组 11−11−11
33区组 1−11−1−11
14区组 1−1−1−111
85区组 111111
56区组 1−1−111−1
47区组 111−11−1
78区组 1−111−1−1
99区组 2−1−1−1−11
1010区组 21111−1
1111区组 2−1−11−1−1
1212区组 211−111

注意，D 最优部分折叠设计需要增加 4 次试验。此外，这些试验被安排在第二个区组中，该区组与包含 8 次试验的第一个区组正交（orthogonal）。

这一策略在 16 次运行的分辨度 IV 设计中非常有用，因为在这种情形下完全折叠需要再做 16 次试验。通常可以用 4 次或 8 次运行的部分折叠作为替代。在许多情形下，只需增加 4 次运行的部分折叠就可以用 D 最优方法构造出来。

作为第二个例子，考虑表 4 所示的 26−22^{6-2} 分辨度 IV 设计。该设计的别名结构列在表下。

表 4 一个 26−22^{6-2} 分辨度 IV 设计

标准顺序运行顺序区组因子 A因子 B因子 C因子 D因子 E因子 F
101区组 11−1−1111
112区组 1−11−111−1
23区组 11−1−1−11−1
124区组 111−11−1−1
165区组 1111111
156区组 1−1111−11
87区组 1111−11−1
78区组 1−111−1−1−1
59区组 1−1−11−111
110区组 1−1−1−1−1−1−1
611区组 11−11−1−11
412区组 111−1−1−11
1413区组 11−111−1−1
1314区组 1−1−1111−1
915区组 1−1−1−11−11
316区组 1−11−1−111
[A]=A+BCE+DEF[B]=B+ACE+CDF[C]=C+ABE+BDF[D]=D+AEF+BCF[E]=E+ABC+ADF[F]=F+ADE+BCD[AB]=AB+CE[AC]=AC+BE[AD]=AD+EF[AE]=AE+BC+DF[AF]=AF+DE[BD]=BD+CF[BF]=BF+CD[ABD]=ABD+ACF+BEF+CDE[ABF]=ABF+ACD+BDE+CEF\begin{array}{r l} & [\mathrm{A}] = \mathrm{A} + \mathrm{BCE} + \mathrm{DEF} \\ & [\mathrm{B}] = \mathrm{B} + \mathrm{ACE} + \mathrm{CDF} \\ & [\mathrm{C}] = \mathrm{C} + \mathrm{ABE} + \mathrm{BDF} \\ & [\mathrm{D}] = \mathrm{D} + \mathrm{AEF} + \mathrm{BCF} \\ & [\mathrm{E}] = \mathrm{E} + \mathrm{ABC} + \mathrm{ADF} \\ & [\mathrm{F}] = \mathrm{F} + \mathrm{ADE} + \mathrm{BCD} \\ & [\mathrm{AB}] = \mathrm{AB} + \mathrm{CE} \\ & [\mathrm{AC}] = \mathrm{AC} + \mathrm{BE} \\ & [\mathrm{AD}] = \mathrm{AD} + \mathrm{EF} \\ & [\mathrm{AE}] = \mathrm{AE} + \mathrm{BC} + \mathrm{DF} \\ & [\mathrm{AF}] = \mathrm{AF} + \mathrm{DE} \\ & [\mathrm{BD}] = \mathrm{BD} + \mathrm{CF} \\ & [\mathrm{BF}] = \mathrm{BF} + \mathrm{CD} \\ & [\mathrm{ABD}] = \mathrm{ABD} + \mathrm{ACF} + \mathrm{BEF} + \mathrm{CDE} \\ & [\mathrm{ABF}] = \mathrm{ABF} + \mathrm{ACD} + \mathrm{BDE} + \mathrm{CEF} \end{array}

假设因子 A、B、C、E 的主效应很大，AB + CE 交互作用链也很大。该设计的完全折叠将涉及把 B、C、D、E 和 F 各列的符号取反。当然，这需要再做 16 次试验。用教材中所述方法进行的标准部分折叠需要再增加 8 次运行。而 D 最优部分折叠方法只需要再增加 4 次运行。由 Design-Expert 得到的扩充设计如表 5 所示。这 4 次运行构成第二个区组，它与包含 16 次运行的第一个区组正交，并且使原别名链中我们感兴趣的那些交互作用能够分别估计出来。

请记住，部分折叠设计是非正规分数（irregular fraction）。它们不是正交的，因此效应估计值之间是相关的。效应估计值之间的这种相关性会使效应的标准误变大；也就是说，与正交设计相比，这里的效应估计得不够精确。不过，这一缺点或许可以被部分折叠所需运行次数的减少所抵消。

表 5 部分折叠

标准顺序运行顺序区组因子 A因子 B因子 C因子 D因子 E因子 F
121区组 111−11−1−1
152区组 1−1111−11
23区组 11−1−1−11−1
94区组 1−1−1−11−11
55区组 1−1−11−111
86区组 1111−11−1
117区组 1−11−111−1
148区组 11−111−1−1
139区组 1−1−1111−1
410区组 111−1−1−11
1011区组 11−1−1111
612区组 11−11−1−11
713区组 1−111−1−1−1
1614区组 1111111
315区组 1−11−1−111
116区组 1−1−1−1−1−1−1
1717区组 21−11−1−1−1
1818区组 2−11−1−1−1−1
1919区组 2−1−11111
2020区组 211−1111
Design and Analysis of Experiments（中文翻译）
8.9 小结
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