8.7 分辨度 IV 和 V 设计

8.7.1 分辨度 IV 设计¶

若主效应不与被两因子交互作用所混杂，而某些两因子交互作用之间互为别名，则称 $2^{k-p}$ 分式因子设计是分辨度 IV 的。因此，如果压制三因子及更高阶交互作用，在 $2_{IV}^{k-p}$ 设计中可以直接估计主效应。表 8.10 中的 $2_{IV}^{6-2}$ 设计就是一个例子。此外，例 8.7 中 $2_{III}^{7-4}$ 设计的两个分式合并后得到 $2_{IV}^{7-3}$ 设计。分辨度 IV 设计被广泛用作筛选试验。8 次试验的 $2^{4-1}$ 以及含 6、7、8 个因子的 16 次试验分式都非常流行。

任何 $2_{IV}^{k-p}$ 设计都至少需要 $2k$ 次试验。恰含 $2k$ 次试验的分辨度 IV 设计称为最小设计（minimal design）。分辨度 IV 设计可以通过折叠由分辨度 III 设计得到。回忆一下，要折叠一个 $2_{III}^{k-p}$ 设计，只需给原分式加上一个所有符号都反转的第二分式。于是第一个分式中单位列 $I$ 的正号在第二个分式中被反转，可以把第 $(k+1)$ 个因子与这一列相对应。结果是一个 $2_{IV}^{k+1-p}$ 分式因子设计。表 8.29 以 $2_{III}^{3-1}$ 设计为例说明了这一过程。容易验证所得设计是定义关系为 $I=ABCD$ 的 $2_{IV}^{4-1}$ 设计。

表 8.29 由折叠得到的 $2^{4-1}_{IV}$ 设计

表 8.30 汇总了 $N=4,8,16,32$ 次试验的 $2^{k-p}$ 分式因子设计，使用很方便。注意，尽管对于 $6 \leq k \leq 8$ 都有 16 次试验的分辨度 IV 设计，但如果因子数达到九个或更多，$2^{9-p}$ 族中最小的分辨度 IV 设计就是 $2^{9-4}$，需要 32 次试验。由于试验次数相当多，许多试验者对更小的设计感兴趣。回忆一下分辨度 IV 设计至少需要 $2k$ 次试验，因此例如九因子分辨度 IV 设计至少需要 18 次试验。恰含 $N=18$ 次试验的设计可以用构造"最优"设计的算法产生。该设计是非正则设计，我们将在第 9 章更广泛地讨论非正则设计时加以说明。

表 8.30 $2^{k-p}$ 体系中常用的因子设计与分式因子设计（表中数字为试验中的因子数）

其中列标题为试验次数。

8.7.2 分辨度 IV 设计的序贯试验¶

由于分辨度 IV 设计被用作筛选试验，做完并分析原始试验之后发现还需要追加试验才能完全弄清所有效应，这并不罕见。我们在 8.6.2 节针对分辨度 III 设计讨论了这一点，并引入了折叠作为序贯试验策略。在分辨度 III 的情形中，主效应与两因子交互作用互为别名，所以折叠的目的是把主效应与两因子交互作用分开。也可以对分辨度 IV 设计作折叠，以分离互为别名的两因子交互作用。

Montgomery 和 Runger（1996）指出，试验者对分辨度 IV 设计作折叠可能有几个目标，例如：

1. 打断尽可能多的两因子交互作用别名链；

2. 打断某条特定别名链上的两因子交互作用；或

3. 打断涉及某个特定因子的两因子交互作用别名。

不过，对分辨度 IV 设计作折叠时必须小心。我们用于分辨度 III 设计的全折叠规则——即简单地再做一次把所有符号都反转的分式——对分辨度 IV 的情形不成立。如果把这一规则用于分辨度 IV 设计，结果只会得到一个完全相同的设计，只是试验顺序不同。不妨试一下！用表 8.9 中的 $2_{IV}^{6-2}$，把试验矩阵中所有符号都反转，看看会发生什么。

对分辨度 IV 设计作折叠最简单的办法是把原设计矩阵中单个变量的符号反转。这种单因子折叠（single-factor fold over）能把涉及该被反转因子的所有两因子交互作用分离出来，从而实现上面列出的第三个目标。

为说明对分辨度 IV 设计如何实施单因子折叠，考虑表 8.31 中的 $2_{IV}^{6-2}$ 设计（试验按标准顺序而非试验顺序排列）。该试验用于研究六个因子对硅片上光刻胶涂层厚度的影响。设计因子为 $A$ = 旋转速度，$B$ = 加速度，$C$ = 光刻胶用量，$D$ = 旋转时间，$E$ = 光刻胶粘度，$F$ = 排气速率。该设计的别名关系见表 8.8。效应的半正态概率图如图 8.25 所示。注意最大的主效应是 $A$、$B$、$C$ 和 $E$；由于这些效应只与三因子或更高阶交互作用互为别名，可以合乎逻辑地假定它们是真实效应。然而，$AB+CE$ 别名链的效应估计也很大。

表 8.31 旋转涂胶试验的初始 $2_{\mathrm{IV}}^{6-2}$ 设计

图 8.25 表 8.31 中初始旋转涂胶试验效应的半正态图

除非有其他过程知识或工程信息，我们无法判断这究竟是 $AB$、$CE$，还是两个交互作用效应都大。

折叠设计是通过建立一个新的 $2_{IV}^{6-2}$ 分式因子设计并把因子 $A$ 的符号改变而构造的。加入折叠试验后的完整设计（按标准顺序）见表 8.32。注意各次试验被安排到两个区组中：表 8.32 中来自初始 $2_{IV}^{6-2}$ 设计的试验在区组 1，折叠试验在区组 2。由合并后的一组试验估计的效应为（忽略涉及三个或更多因子的交互作用）

注意现在所有涉及因子 $A$ 的两因子交互作用都不再与其他两因子交互作用互为别名，而且 $AB$ 不再与 $CE$ 互为别名。合并设计所得效应的半正态概率图如图 8.26 所示。显然显著的是 $CE$ 交互作用。

容易证明，表 8.32 中已完成的折叠设计允许估计前面给出的 6 个主效应和 12 条两因子交互作用别名链，此外还能估计涉及高阶交互作用的 12 条其他别名链以及区组效应。原分式的生成元为 $E=ABC$ 和 $F=BCD$；由于我们改变了 $A$ 列的符号以形成折叠，第二组 16 次试验的生成元为 $E=-ABC$ 和 $F=BCD$。由于只有一个符号相同的字（$L=1$，$U=1$），且合并设计只有一个生成元（它是一个一半分式），所以合并设计的生成元为 $F=BCD$。此外，由于 $ABCE$ 在区组 1 中为正、在区组 2 中为负，所以 $ABCE$ 及其别名 $ADEF$ 与区组混杂。

表 8.32 旋转涂胶试验已完成的折叠

考察原 16 次试验设计与已完成折叠中涉及两因子交互作用的别名链，会发现一些令人不安的信息。在原来的分辨度 IV 分式中，每个两因子交互作用都与另一个两因子交互作用在六条别名链中互为别名，其中有一条别名链包含三个两因子交互作用（参见表 8.8）。因此有七个自由度可用于估计两因子交互作用。而在已完成的折叠中，有九个两因子交互作用可以在不受其他两因子交互作用干扰下估计出来，另有涉及两个两因子交互作用的三条别名链，合计有 12 个自由度用于估计两因子交互作用。

图 8.26 表 8.32 中旋转涂胶试验效应的半正态图

换句话说，我们多做了 16 次试验，但只多得到 5 个用于估计两因子交互作用的自由度。这对试验资源来说效率实在不高。

幸运的是，还有另一种替代完整折叠的办法。在部分折叠（partial fold over，或称 semifold）中，我们只做完整折叠所需试验次数的一半，对旋转涂胶试验来说就是八次试验。以下步骤可以产生一个部分折叠设计：

1. 按通常方式由原设计构造单因子折叠，即改变某个感兴趣的两因子交互作用所涉及的因子的符号。

2. 只选取折叠试验中的一半，即选择所选因子处于高水平或低水平的那些试验。通常选取你认为会产生最合意响应的那个水平是个好主意。

表 8.33 是旋转涂胶试验的部分折叠设计。注意我们选取了 $A$ 处于低水平的那些试验，因为在原来的 16 次试验（表 8.31）中，$A$ 处于低水平时得到的光刻胶涂层更薄（本例中这是所期望的）。（在原 16 次试验的分析中 $A$ 效应的估计为正，这也提示 $A$ 处于低水平能产生期望的结果。）

部分折叠得到的别名关系（忽略涉及三个或更多因子的交互作用）为

表 8.33 旋转涂胶试验的部分折叠

注意可用于估计两因子交互作用的自由度正好是 12 个，与完整折叠完全相同。此外，$AB$ 不再与 $CE$ 互为别名。部分折叠所得效应的半正态图如图 8.27 所示。与完整折叠一样，$CE$ 被识别为显著的两因子交互作用。

部分折叠技术对分辨度 IV 设计非常有用，通常能高效利用试验资源。分辨度 IV 设计总能给出主效应的良好估计（假定三因子交互作用可以忽略），而且通常需要去别名的两因子交互作用数目并不多。分辨度 IV 设计的部分折叠通常能支持与全折叠一样多的两因子交互作用估计。部分折叠的一个缺点是它不正交。这会导致参数估计相关，并使效应或回归模型系数的标准误膨胀。例如，在旋转涂胶试验的部分折叠中，回归模型系数的标准误在 $0.20\sigma$ 到 $0.25\sigma$ 之间，而在正交的完整折叠中，模型系数的标准误为 $0.18\sigma$。关于部分折叠的更多信息，参见 Mee 和 Peralta（2000）以及本章的补充材料。

图 8.27 表 8.33 中旋转涂胶试验部分折叠所得效应的半正态图

8.7.3 分辨度 V 设计¶

分辨度 V 设计是指主效应和两因子交互作用都不以其他主效应和两因子交互作用为别名的分式因子设计。因此，这类设计非常强大，允许唯一地估计全部主效应和两因子交互作用——当然，前提是所有涉及三个或更多因子的交互作用都可以忽略。分辨度 V 设计的定义关系中最短的字必须含五个字母。满足 $I=ABCDE$ 的 $2^{5-1}$ 设计也许是用得最广的分辨度 V 设计，它允许在仅 16 次试验中研究五个因子并估计全部五个主效应和全部 10 个两因子交互作用。我们在例 8.2 中说明了该设计的用法。

对 $k=6$ 个因子，分辨度至少为 V 的最小设计是 32 次试验的 $2_{VI}^{6-1}$ 设计，其分辨度为 VI；对 $k=7$ 个因子，是 64 次试验的 $2_{VII}^{7-1}$（分辨度为 VII）；对 $k=8$ 个因子，是 64 次试验的 $2_{V}^{8-2}$ 设计。对于 $k \geq 9$ 个或更多因子，所有这些设计都至少需要 128 次试验。这些都是非常大的设计，因此统计学家长期以来一直对保持所需分辨度的更小替代设计感兴趣。Mee（2004）对该主题作了综述。非正则分式可能非常有用，这一点将在第 9 章进一步讨论。