8.5 分式因子设计及其他设计中的别名结构
本章中我们说明了如何利用完整定义关系来求 2k−p 分式因子设计中的别名关系。这种方法在简单设计中（例如我们最常使用的正则分式）效果很好，但在更复杂的情形中（例如我们后面要讨论的某些非正则分式和部分折叠设计）就不那么好用了。此外，有些分式因子设计根本没有定义关系，例如 8.6.3 节中的 Plackett–Burman 设计，所以定义关系方法对这类设计完全不起作用。
幸运的是，有一个通用方法在许多情形下都能令人满意地工作。该方法利用模型的多项式或回归模型表示，即
y=X1β1+ϵ 其中 y 是 n×1 的响应向量，X1 是 n×p1 矩阵，包含按试验者所拟合模型的形式展开的设计矩阵，β1 是 p1×1 的模型参数向量，ϵ 是 n×1 的误差向量。β1 的最小二乘估计为
β^1=(X1′X1)−1X1′y 假设真实模型为
其中 X2 是 n×p2 矩阵，包含不在拟合模型中的其他变量，β2 是与这些变量相关的 p2×1 参数向量。可以证明
E(β^1)=β1+(X1′X1)−1X1′X2β2=β1+Aβ2(8.1) 矩阵 A=(X1′X1)−1X1′X2 称为别名矩阵（alias matrix）。该矩阵作用在 β2 上的各元素，就确定了向量 β1 中各参数的别名关系。
我们用一个熟悉的例子说明该方法的运用。假设我们做的是一个定义关系为 I=ABC 即 I=x1x2x3 的 23−1 设计，试验者计划拟合的模型是只含主效应的模型
y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+ϵ 按前面定义的记号，
β1=⎣⎡β0β1β2β3⎦⎤和X1=⎣⎡1111−11−11−1−1111−1−11⎦⎤ 假设真实模型包含所有两因子交互作用，于是
y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+β12x1x2+β13x1x3+β23x2x3+ϵ 且
β2=⎣⎡β12β13β23⎦⎤,和X2=⎣⎡1−1−11−1−111−11−11⎦⎤ 于是
X1′X1=4I4和X1′X2=⎣⎡000400400400⎦⎤ 因此
(X1′X1)−1=41I4 而
E(β^1)E⎣⎡β^0β^1β^2β^3⎦⎤=β1+Aβ2=⎣⎡β0β1β2β3⎦⎤+41I4⎣⎡000400400400⎦⎤⎣⎡β12β13β23⎦⎤=⎣⎡β0β1β2β3⎦⎤+⎣⎡000100100100⎦⎤⎣⎡β12β13β23⎦⎤=⎣⎡β0β1β2β3⎦⎤+⎣⎡0β23β13β12⎦⎤=⎣⎡β0β1+β23β2+β13β3+β12⎦⎤ 当然，其含义是每个主效应都与某一个两因子交互作用互为别名——我们知道对该设计确实如此。注意，别名矩阵的每一行分别代表 β1 中一个因子，每一列分别代表 β2 中一个因子。虽然这只是一个很简单的例子，但该方法是十分通用的，可以应用到复杂得多的设计。