3.2 方差分析 - 试验设计与分析中文翻译

假设我们有 $a$ 个处理，即某个单因子的 $a$ 个不同水平，希望加以比较。 $a$ 个处理中每一个的观测响应都是一个随机变量。数据将如表 3.2 所示。表 3.2 中的每一项（例如 $y_{ij}$ ）表示在因子水平（或处理） $i$ 下取得的第 $j$ 个观测值。一般地，在第 $i$ 个处理下有 $n$ 个观测值。注意表 3.2 就是表 3.1 中等离子体刻蚀试验数据的一般情形。

数据的模型。 用模型来描述试验的观测值是很有用的。写出这一模型的一种方式是

y_{ij} = \mu_{i}+\epsilon_{ij} \quad \left\{ \begin{array}{l} i = 1, 2, \ldots, a \\ j = 1, 2, \ldots, n \end{array} \right. \tag{3.1}

其中 $y_{ij}$ 是第 $ij$ 个观测值， $\mu_{i}$ 是第 $i$ 个因子水平（或处理）的均值， $\epsilon_{ij}$ 是随机误差分量，它包含了试验中所有其他变异来源，包括测量误差、来自未受控制因子的变异、施加处理的试验单元（如试验材料）之间的差异，以及过程中的一般本底噪声（例如随时间的变异、环境变量的影响）。方便的做法是把误差看作均值为零，从而 $E(y_{ij})=\mu_{i}$ 。

式 3.1 称为均值模型（means model）。写出数据模型的另一种方式是定义

\mu_{i} = \mu+\tau_{i}, \quad i = 1, 2, \ldots, a

于是式 3.1 变为

y_{ij} = \mu+\tau_{i}+\epsilon_{ij} \quad \left\{ \begin{array}{l} i = 1, 2, \ldots, a \\ j = 1, 2, \ldots, n \end{array} \right. \tag{3.2}

在这种形式的模型中， $\mu$ 是所有处理共有的参数，称为总均值（overall mean）； $\tau_{i}$ 是第 $i$ 个处理特有的参数，称为第 $i$ 个处理效应（treatment effect）。式 3.2 通常称为效应模型（effects model）。

均值模型和效应模型都是线性统计模型；也就是说，响应变量 $y_{ij}$ 是模型参数的线性函数。两种形式的模型都有用，但效应模型在试验设计文献中更为常见。它有一定的直观吸引力： $\mu$ 是常数，而处理效应 $\tau_{i}$ 表示施加具体处理时对这一常数的偏离。

式 3.2（或式 3.1）也称为一元或单因子方差分析（analysis of variance，ANOVA）模型，因为只考察了一个因子。此外，我们要求试验按随机顺序进行，使施加处理的环境（常称为试验单元，experimental unit）尽可能均匀。因此，试验设计是一个完全随机化设计。我们的目标是检验关于处理均值的适当假设并估计它们。对于假设检验，假定模型误差是均值为零、方差为 $\sigma^{2}$ 的正态独立随机变量。方差 $\sigma^{2}$ 假定对因子的所有水平都相同，这意味着观测值

y_{ij} \sim N(\mu+\tau_{i}, \sigma^{2})

且各观测值相互独立。

表 3.2 单因子试验的典型数据

处理（水平）	观测值				合计	平均
1	$y_{11}$	$y_{12}$	$\cdots$	$y_{1n}$	$y_{1.}$	$\overline{y}_{1.}$
2	$y_{21}$	$y_{22}$	$\cdots$	$y_{2n}$	$y_{2.}$	$\overline{y}_{2.}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\cdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$a$	$y_{a1}$	$y_{a2}$	$\cdots$	$y_{an}$	$y_{a.}$	$\overline{y}_{a.}$
					$y_{..}$	$\overline{y}_{..}$

固定因子还是随机因子？ 统计模型（式 3.2）就处理效应描述了两种不同的情形。第一，这 $a$ 个处理可能是由试验者特意选定的。在这种情形下，我们希望检验关于处理均值的假设，而我们的结论只适用于分析中所考虑的那些因子水平，不能推广到未明确考虑过的类似处理。我们可能还希望估计模型参数 $(\mu, \tau_{i}, \sigma^{2})$ 。这称为固定效应模型（fixed effects model）。第二，这 $a$ 个处理可能是从更大的处理总体中随机抽取的样本。在这种情形下，我们希望把结论（基于处理样本得出的）推广到总体中的所有处理，无论它们是否在分析中被明确考虑过。此时 $\tau_{i}$ 是随机变量，关于所考察的具体那几个 $\tau_{i}$ 的知识用处相对不大；相反，我们检验关于 $\tau_{i}$ 变异的假设，并设法估计这种变异。这称为随机效应模型（random effects model）或方差分量模型（components of variance model）。我们将在 3.9 节讨论单因子随机效应模型，而关于随机因子试验更完整的讨论则推迟到第 13 章。