3.8 单因子试验的其他例子
3.8.1 巧克力与心血管健康¶
《Nature》上的一篇文章描述了一个考察食用巧克力对心血管健康影响的试验（“Plasma Antioxidants from Chocolate”，Nature，第 424 卷，2003 年，第 1013 页）。该试验使用了三种不同的巧克力：100 g 黑巧克力、100 g 黑巧克力加 200 mL 全脂牛奶、以及 200 g 牛奶巧克力。共使用 12 名受试者，其中 7 名女性、5 名男性，平均年龄范围 岁，平均体重 kg，体质指数 kg m。受试者在不同日期食用其中一种巧克力（因子水平），1 小时后用某种分析方法测定其血浆的总抗氧化能力。与该文中所汇总数据类似的数据见表 3.12。
图 3.15 给出了该试验数据的箱线图。结果表明，食用黑巧克力 1 小时后血液的抗氧化能力高于另外两种处理。三个处理样本数据的变异似乎非常相近。表 3.13 是 Minitab 的方差分析输出。检验统计量高度显著（Minitab 报告的 值为 0.000，这显然是错的，因为 值不可能为零；这意味着 值小于 0.001），说明某些处理均值不同。输出中还包含该试验的 Fisher LSD 分析，它表明食用黑巧克力后的平均抗氧化能力高于食用黑巧克力加牛奶或单独食用牛奶巧克力之后；此外，食用黑巧克力加牛奶与单独食用牛奶巧克力之后的平均抗氧化能力相等。图 3.16 是残差的正态概率图，图 3.17 是残差对预测值的图形。这些图没有显示模型假定存在任何问题。我们得出结论：食用黑巧克力 1 小时后血液的平均抗氧化能力高于食用黑巧克力加牛奶或单独食用牛奶巧克力。
表 3.12 食用巧克力 1 小时后的血浆水平
| 因子 | 受试者（观测值）1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| DC | 118.8 | 122.6 | 115.6 | 113.6 | 119.5 | 115.9 | 115.8 | 115.1 | 116.9 | 115.4 | 115.6 | 107.9 |
| DC + MK | 105.4 | 101.1 | 102.7 | 97.1 | 101.9 | 98.9 | 100.0 | 99.8 | 102.6 | 100.9 | 104.5 | 93.5 |
| MC | 102.1 | 105.8 | 99.6 | 102.7 | 98.8 | 100.9 | 102.8 | 98.7 | 94.7 | 97.8 | 99.7 | 98.6 |
图 3.15 巧克力食用试验中血液抗氧化能力数据的箱线图
表 3.13 巧克力食用试验方差分析的 Minitab 输出
One-way ANOVA: DC, DC+MK, MC
Source DF SS MS F P
Factor 2 1952.6 976.3 93.58 0.000
Error 33 344.3 10.4
Total 35 2296.9
S = 3.230 R-Sq = 85.01% R-Sq(adj) = 84.10%
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
Level N Mean StDev ----+----+----+----+----
DC 12 116.06 3.53 (----*----)
DC+MK 12 100.70 3.24 (--*----)
MC 12 100.18 2.89 (--*----)
100.0 105.0 110.0 115.0
Pooled StDev = 3.23
Fisher 95% Individual Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons
Simultaneous confidence level = 88.02
DC subtracted from:
Lower Center Upper -+----+----+----+----
DC+MK -18.041 -15.358 -12.675 (--*----)
MC -18.558 -15.875 -13.192 (--*----)
-+----+----+----+----
-18.0 -12.0 -6.0 0.0
DC+MK subtracted from:
Lower Center Upper -+----+----+----+----
MC -3.200 -0.517 2.166 (----*----)
-+----+----+----+----
-18.0 -12.0 -6.0 0.0
图 3.16 巧克力食用试验残差的正态概率图
图 3.17 巧克力食用试验残差对预测值的图形
3.8.2 设计试验在实体经济中的一个应用¶
设计试验对制造业产生了巨大的影响，包括新产品的设计与现有产品的改进、新制造工艺的开发以及过程改进。在过去 15 年里，设计试验开始在这一传统环境之外被广泛使用。这些应用出现在金融服务、电信、医疗保健、电子商务、法律服务、营销、物流与运输，以及制造企业中许多非制造的组成部分。这类业务有时被称为实体经济（real economy）。据估计，制造业仅占美国经济总量的约 20%，因此在实体经济中应用试验设计正变得越来越重要。本节给出一个营销领域中设计试验的例子。
一家软饮料经销商知道，端头货架陈列（end-aisle display）是提高产品销量的有效方式。然而，设计这些陈列有若干种方式：改变展示的文字、使用的颜色和视觉图像。营销小组设计了三种新的端头货架陈列，并希望检验它们的有效性。他们选定了 15 家规模和类型相近的商店参与这项研究。每家商店将在为期一个月的时间内测试其中一种陈列。陈列被随机分配给各商店，每种陈列在五家商店中测试。响应变量是在不使用端头货架陈列时，相对于该店典型销量的销量增长百分比。该试验的数据见表 3.14。
表 3.15 给出了端头货架陈列试验的分析。这一分析是用 JMP 完成的。方差分析中模型 统计量的 值表明，三种陈列类型之间销量增长百分比的平均值存在差异。在这个应用中，我们让 JMP 用 Fisher LSD 程序比较各对处理均值（JMP 把它们称为最小二乘均值）。这一比较的结果以各对均值之差的置信区间形式给出。对那些置信区间包含零的均值对，我们不会判定它们不同。JMP 输出表明，陈列设计 1 和 2 相似，它们带来相同的平均销量增长；而陈列设计 3 与设计 1、2 都不同，且陈列设计 3 的平均销量增长高于设计 1 和 2。注意 JMP 在输出中自动包含了一些有用的图形：观测值对模型预测值的图形，以及残差对预测值的图形。有轻微的迹象表明陈列设计 3 的销量增长变异可能大于另外两种设计。
表 3.14 端头货架陈列试验设计
| 陈列设计 | 样本观测值，销量增长百分比 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5.43 | 5.71 | 6.22 | 6.01 | 5.29 | |
| 2 | 6.24 | 6.71 | 5.98 | 5.66 | 6.60 | |
| 3 | 8.79 | 9.20 | 7.90 | 8.15 | 7.55 |
表 3.15 端头货架陈列试验的 JMP 输出
Response Sales Increase
Whole Model
Actual by Predicted Plot
Summary of Fit
| RSquare | 0.856364 |
|---|---|
| RSquare Adj | 0.832425 |
| Root Mean Square Error | 0.512383 |
| Mean of Response | 6.762667 |
| Observations (or Sum Wgts) | 15 |
Analysis of Variance
| Source | DF | Sum of Squares | Mean Square | F Ratio |
|---|---|---|---|---|
| Model | 2 | 18.783053 | 9.39153 | 35.7722 |
| Error | 12 | 3.150440 | 0.26254 | Prob > F |
| C.Total | 14 | 21.933493 | < .0001 |
Effect Tests
| Source | Nparm | DF | Sum of Squares | F Ratio | Prob > F |
|---|---|---|---|---|---|
| Display | 2 | 2 | 18.783053 | 35.7722 | < .001 |
Residual by Predicted Plot
Least Squares Means Table
| Level | Least Sq Mean | Std Error | Mean |
|---|---|---|---|
| 1 | 5.7320000 | 0.22914479 | 5.73200 |
| 2 | 6.2380000 | 0.22914479 | 6.23800 |
| 3 | 8.3180000 | 0.22914479 | 8.31800 |
LSMeans Differences Student’s t，，
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| Mean[i]-Mean[j] | 0 | 0.506 | 2.586 |
| Std Err Dif | 0 | 0.32406 | 0.32406 |
| Lower CL Dif | 0 | -0.2001 | 1.87993 |
| Upper CL Dif | 0 | 1.21207 | 3.29207 |
| Mean[i]-Mean[j] | -0.506 | 0 | 2.08 |
| Std Err Dif | 0.32406 | 0 | 0.32406 |
| Lower CL Dif | -1.2121 | 0 | 1.37393 |
| Upper CL Dif | 0.20007 | 0 | 2.78607 |
| Mean[i]-Mean[j] | -2.586 | -2.08 | 0 |
| Std Err Dif | 0.32406 | 0.32406 | 0 |
| Lower CL Dif | -3.2921 | -2.7861 | 0 |
| Upper CL Dif | -1.8799 | -1.3739 | 0 |
| Level | Least Sq Mean | |
|---|---|---|
| 3 | A | 8.3180000 |
| 2 | B | 6.2380000 |
| 1 | B | 5.7320000 |
Levels not connected by same letter are significantly different.
3.8.3 发现离散效应¶
我们一直关注的是用方差分析及相关方法来确定哪些因子水平导致处理（或因子水平）均值之间出现差异。习惯上把这类效应称为位置效应（location effect）。如果不同因子水平上存在方差不等，我们就用变换来稳定方差，以改进对位置效应的推断。然而在有些问题中，我们感兴趣的是发现不同因子水平是否影响变异；也就是说，我们感兴趣的是发现潜在的离散效应（dispersion effect）。只要把标准差、方差或其他某种变异度量用作响应变量，就会出现这种情形。
表 3.16 熔炼试验的数据
| 比值控制算法 | 观测值 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4.93(0.05) | 4.86(0.04) | 4.75(0.05) | 4.95(0.06) | 4.79(0.03) | 4.88(0.05) |
| 2 | 4.85(0.04) | 4.91(0.02) | 4.79(0.03) | 4.85(0.05) | 4.75(0.03) | 4.85(0.02) |
| 3 | 4.83(0.09) | 4.88(0.13) | 4.90(0.11) | 4.75(0.15) | 4.82(0.08) | 4.90(0.12) |
| 4 | 4.89(0.03) | 4.77(0.04) | 4.94(0.05) | 4.86(0.05) | 4.79(0.03) | 4.76(0.02) |
为说明这些想法，考虑表 3.16 中的数据，它们来自某铝冶炼厂的一次设计试验。铝是通过在反应槽中把氧化铝与其他配料混合、并让电流通过反应槽加热而生成的。氧化铝被连续加入反应槽，以保持氧化铝与其他配料的适当比值。该试验考察了四种不同的比值控制算法。所研究的响应变量与槽电压有关。具体地说，传感器每秒钟扫描槽电压若干次，在每次试验运行期间产生数千个电压测量值。工艺工程师决定把运行期间的平均电压和槽电压的标准差（括号中给出）作为响应变量。平均电压重要，因为它影响槽温；而电压的标准差（工艺工程师称之为“槽噪声”，pot noise）重要，因为它影响整个槽的效率。
我们做了方差分析，以确定不同比值控制算法是否影响平均槽电压。结果表明比值控制算法没有位置效应，即改变比值控制算法并不改变平均槽电压。（参见习题 3.33。）
要考察离散效应，通常最好把
用作响应变量，因为对数变换能有效地稳定样本标准差分布中的变异。由于槽电压的所有样本标准差都小于 1，我们将把
用作响应变量。表 3.17 给出了这一响应（即“槽噪声”的自然对数）的方差分析。注意比值控制算法的选择会影响槽噪声，也就是说，比值控制算法具有离散效应。包括残差正态概率图在内的标准模型适合性检验表明，试验的有效性没有问题。（参见习题 3.34。）
表 3.17 槽噪声自然对数的方差分析
| 变异来源 | 平方和 | 自由度 | 均方 | 值 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 比值控制算法 | 6.166 | 3 | 2.055 | 21.96 | < 0.001 |
| 误差 | 1.872 | 20 | 0.094 | ||
| 总计 | 8.038 | 23 |
图 3.18 四种比值控制算法的平均对数槽噪声 ，相对于尺度因子为 的尺度化 分布
图 3.18 画出了每种比值控制算法的平均对数槽噪声，并给出了一个尺度化的 分布，用作区分不同比值控制算法的参考分布。该图清楚地表明，比值控制算法 3 产生的槽噪声（即槽电压标准差）大于其他算法。算法 1、2 和 4 之间似乎没有多大差别。