3.11 方差分析中的非参数方法 - 试验设计与分析中文翻译

3.11.1 Kruskal–Wallis 检验¶

在正态性假定不成立的情形下，试验者可能希望使用一种不依赖该假定的程序来替代 $F$ 检验方差分析。Kruskal 和 Wallis（1952）提出了这样的程序。Kruskal–Wallis 检验用来检验的原假设是 $a$ 个处理完全相同，备择假设是其中某些处理产生的观测值大于另一些处理。由于该程序的目的是对均值差异的检验足够灵敏，有时不妨把 Kruskal–Wallis 检验看作处理均值是否相等的检验。Kruskal–Wallis 检验是通常方差分析的一种非参数替代方法。

进行 Kruskal–Wallis 检验时，首先把观测值 $y_{ij}$ 按升序排列，并把每个观测值替换为它的秩（rank），记为 $R_{ij}$ ，最小的观测值秩为 1。出现结（ties）时（即观测值取值相同），给每个相连观测值赋予平均秩。设 $R_{i.}$ 为第 $i$ 个处理中秩的和。检验统计量为

H = \frac{1}{S^{2}}\left[\sum_{i=1}^{a}\frac{R_{i.}^{2}}{n_{i}}-\frac{N(N+1)^{2}}{4}\right] \tag{3.65}

其中 $n_{i}$ 是第 $i$ 个处理中的观测值个数， $N$ 是观测值总数，而

S^{2} = \frac{1}{N-1}\left[\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{n_{i}} R_{ij}^{2}-\frac{N(N+1)^{2}}{4}\right] \tag{3.66}

注意 $S^{2}$ 就是秩的方差。如果没有结，则 $S^{2} = N(N+1)/12$ ，检验统计量简化为

H = \frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^{a}\frac{R_{i.}^{2}}{n_{i}}-3(N+1) \tag{3.67}

当结的数量适中时，式 3.66 与式 3.67 差别很小，可以使用较简单的形式（式 3.67）。如果 $n_{i}$ 相当大，例如 $n_{i} \geq 5$ ，则在原假设下 $H$ 近似服从 $\chi_{a-1}^{2}$ 分布。因此，若

H > \chi_{\alpha,a-1}^{2}

则拒绝原假设。也可以使用 $P$ 值方法。

例 3.11¶

例 3.1 的数据及其相应的秩见表 3.21。数据中存在结，因此我们用式 3.65 作为检验统计量。由式 3.65

S^{2} = \frac{1}{19}\left[2869.50-\frac{20(21)^{2}}{4}\right] = 34.97

检验统计量为

\begin{aligned} H &= \frac{1}{S^{2}}\left[\sum_{i=1}^{a}\frac{R_{i.}^{2}}{n_{i}}-\frac{N(N+1)^{2}}{4}\right] \\ &= \frac{1}{34.97}[2796.30-2205] \\ &= 16.91 \end{aligned}

表 3.21 例 3.1 等离子体刻蚀试验的数据与秩

功率
160		180		200		220
$y_{1j}$	$R_{1j}$	$y_{2j}$	$R_{2j}$	$y_{3j}$	$R_{3j}$	$y_{4j}$	$R_{4j}$
575	6	565	4	600	10	725	20
542	3	593	9	651	15	700	17
530	1	590	8	610	11.5	715	19
539	2	579	7	637	14	685	16
570	5	610	11.5	629	13	710	18
$R_{i.}$	17		39.5		63.5		90

因为 $H > \chi_{0.01,3}^{2} = 11.34$ ，我们拒绝原假设，并得出结论：各处理不同。（ $H=16.91$ 的 $P$ 值为 $P = 7.38\times10^{-4}$ 。）这与通常方差分析 $F$ 检验给出的结论相同。

3.11.2 关于秩变换的一般评论¶

上一节所用的把观测值替换为其秩的程序称为秩变换（rank transformation）。它是一种非常强大且应用广泛的实用技术。如果我们对秩而不是原始数据应用通常的 $F$ 检验，就会得到

F_{0} = \frac{H/(a-1)}{(N-1-H)/(N-a)} \tag{3.68}

作为检验统计量［见 Conover（1980），第 337 页］。注意随着 Kruskal–Wallis 统计量 $H$ 增大或减小， $F_{0}$ 也相应增大或减小，因此 Kruskal–Wallis 检验等价于对秩应用通常的方差分析。

对于不存在方差分析的非参数替代方法的试验设计问题，秩变换具有广泛的适用性，这包括本书后续章节中的许多设计。如果对数据取秩并应用通常的 $F$ 检验，就会得到一个具有良好统计性质的近似程序［见 Conover 和 Iman（1976，1981）］。当我们担心正态性假定、或担心离群值或“异常”值的影响时，我们建议对原始数据和对秩各作一次通常的方差分析。当两种程序给出相似结果时，方差分析假定很可能得到相当好的满足，标准分析是令人满意的。当两种程序结果不同时，应当优先采用秩变换，因为它更不容易被非正态性和异常观测值扭曲。在这种情况下，试验者可能希望研究针对非正态性的变换，并检查数据和试验程序，以确定是否存在离群值以及它们为何出现。