6.9 为什么要用编码设计变量
读者想必已经注意到，本章对 因子设计所作的全部分析和模型拟合都使用编码设计变量 ，而不用原始单位下的设计因子（有时称为实际单位、自然单位或工程单位）。使用工程单位时，我们会得到与编码单位分析不同的数值结果，而且结果往往不那么容易解释。
为说明这两种分析的一些差别，考虑下面这个试验。构造一个简单的直流电路，其中可以接入两个不同的电阻，1 和 。电路中还有一个电流表和一个可变输出电源。电路中接入电阻后，调节电源直到获得 4 安或 6 安的电流，然后从电压表上读出电源的输出电压。对 22 因子设计做两次重复，结果见表 6.25。我们知道，除测量误差外，观测到的电压由欧姆定律决定。不过，对这些数据作经验建模分析，能让我们洞悉编码单位与工程单位在设计试验中的价值。
表 6.26 和表 6.27 分别给出用通常的编码变量（ 与 ）和工程单位下的设计变量所得的回归模型，计算用 Minitab 完成。先看表 6.26 中的编码变量分析。设计是正交的，编码变量也是正交的。注意两个主效应（ = 电流）与（ = 电阻）都显著，交互作用也显著。在编码变量分析中，模型系数的大小可以直接比较；也就是说，它们都是无量纲的，度量的是把每个设计因子改变一个单位区间所产生的效应。此外，它们都以相同精度估计（注意三个系数的标准误都是 0.053）。交互效应比两个主效应都小，而电流的效应只比电阻效应的一半稍多一点。这说明在研究所涉及的因子范围内，电阻是一个更重要的变量。编码变量在确定因子效应的相对大小方面非常有效。
表 6.25 电路试验
| I（安培） | R（欧姆） | V（伏特） | ||
|---|---|---|---|---|
| 4 | 1 | −1 | −1 | 3.802 |
| 4 | 1 | −1 | −1 | 4.013 |
| 6 | 1 | 1 | −1 | 6.065 |
| 6 | 1 | 1 | −1 | 5.992 |
| 4 | 2 | −1 | 1 | 7.934 |
| 4 | 2 | −1 | 1 | 8.159 |
| 6 | 2 | 1 | 1 | 11.865 |
| 6 | 2 | 1 | 1 | 12.138 |
表 6.26 用编码变量对电路试验作的回归分析
The regression equation is
V = 7.50 + 1.52 x1 + 2.53 x2 + 0.458 x1 x2
Predictor Coef StDev T P
Constant 7.49600 0.05229 143.35 0.000
x1 1.51900 0.05229 29.05 0.000
x2 2.52800 0.05229 48.34 0.000
x1x2 0.45850 0.05229 8.77 0.001
S = 0.1479 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.8%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 3 71.267 23.756 1085.95 0.000
Residual Error 4 0.088 0.022
Total 7 71.354表 6.27 用工程单位对电路试验作的回归分析
The regression equation is
V = -0.806 + 0.144 I + 0.471 R + 0.917 IR
Predictor Coef StDev T P
Constant -0.8055 0.8432 -0.96 0.394
I 0.1435 0.1654 0.87 0.434
R 0.4710 0.5333 0.88 0.427
IR 0.9170 0.1046 8.77 0.001
S = 0.1479 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.8%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 3 71.267 23.756 1085.95 0.000
Residual Error 4 0.088 0.022
Total 7 71.354现在考虑基于工程单位的分析，如表 6.27 所示。在这个模型中，只有交互作用是显著的。交互作用项的模型系数为 0.9170，标准误为 0.1046。我们可以构造一个 统计量来检验交互作用系数等于 1 的假设：
表 6.28 电路试验的回归分析（只含交互作用项）
The regression equation is
V = 1.00 IR
Predictor Coef Std. Dev. T P
Noconstant
IR 1.00073 0.00550 181.81 0.000
S = 0.1255
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 3 71.267 23.756 1085.95 0.000
Residual Error 4 0.088 0.022
Total 7 71.354该检验统计量的 值为 。因此我们不能拒绝系数等于 1 的零假设，这与欧姆定律一致。注意这些回归系数不是无量纲的，而且它们以不同的精度估计。这是因为以工程单位表示因子时，该试验设计不是正交的。
由于截距和主效应都不显著，我们可以考虑只拟合含交互作用项 的模型。结果见表 6.28。注意交互作用项回归系数的估计现在与前面工程单位分析中的不同，因为工程单位下的设计不是正交的。该系数也几乎等于 1。
一般地，工程单位不能直接比较，但它们可能像本例这样具有物理含义。这可能使我们依据背后的机理作出简化。在几乎所有情形下，编码单位分析都更可取。依据某种背后机理作出简化（如本例）是相当罕见的。编码变量能让试验者看清设计因子的相对重要性，这一事实在实践中很有用。