6.4 一般 2^{k} 设计 - 试验设计与分析中文翻译

我们前面介绍的分析方法可以推广到 $2^{k}$ 因子设计的情形，即 $k$ 个因子、每个因子取两个水平的设计。 $2^{k}$ 设计的统计模型将包含 $k$ 个主效应、 $\binom{k}{2}$ 个两因子交互作用、 $\binom{k}{3}$ 个三因子交互作用、 $\ldots$ ，以及一个 $k$ 因子交互作用。也就是说，对 $2^{k}$ 设计，完整模型将包含 $2^{k}-1$ 个效应。前面为处理组合引入的记号在这里也使用。例如，在 2⁵ 设计中， $abd$ 表示因子 A、B 和 D 取高水平、因子 C 和 E 取低水平的处理组合。把各因子一次引入一个、每个新因子依次与它前面的因子相组合，就可以把处理组合写成标准顺序。例如，2⁴ 设计的标准顺序是 (1)、 $a$ 、 $b$ 、 $ab$ 、 $c$ 、 $ac$ 、 $bc$ 、 $abc$ 、 $d$ 、 $ad$ 、 $bd$ 、 $abd$ 、 $cd$ 、 $acd$ 、 $bcd$ 和 $abcd$ 。

$2^{k}$ 设计统计分析的一般步骤汇总于表 6.8。正如我们前面所指出的，在这一分析过程中通常要使用计算机软件包。

表 6.8 $2^{k}$ 设计的分析步骤

估计因子效应
建立初始模型
a. 如果设计有重复，拟合全模型
b. 如果没有重复，用效应的正态概率图建立模型
进行统计检验
约简模型
分析残差
解释结果

表 6.8 中的步骤顺序到现在应该已经很熟悉了。第一步是估计因子效应并考察它们的符号和大小。这给试验者提供初步信息：哪些因子和交互作用可能重要，以及应当朝哪个方向调整这些因子以改善响应。在建立试验的初始模型时，只要设计点中至少有一个被重复过，我们通常选择全模型，即所有主效应和交互作用（下一节我们将讨论对这一步骤的一种修改）。然后在第 3 步中，我们用方差分析正式检验主效应和交互作用的显著性。表 6.9 给出有 $n$ 次重复的 $2^{k}$ 因子设计的方差分析的一般形式。第 4 步约简模型，通常就是把不显著的变量从全模型中删去。第 5 步是通常的残差分析，用以检验模型的适合性和假定。如果我们发现模型不适合或假定被严重违背，有时会在残差分析之后再作模型约简。最后一步通常是图形分析——要么是主效应图或交互作用图，要么是响应曲面图和等高线图。

表 6.9 $2^{k}$ 设计的方差分析

变异来源	平方和	自由度
$k$ 个主效应
A	$SS_A$	1
B	$SS_B$	1
⋮	⋮	⋮
K	$SS_K$	1
$\binom{k}{2}$ 个两因子交互作用
AB	$SS_{AB}$	1
AC	$SS_{AC}$	1
⋮	⋮	⋮
JK	$SS_{JK}$	1
$\binom{k}{3}$ 个三因子交互作用
ABC	$SS_{ABC}$	1
ABD	$SS_{ABD}$	1
⋮	⋮	⋮
IJK	$SS_{IJK}$	1
⋮	⋮	⋮
$\binom{k}{k}$ 个 $k$ 因子交互作用
ABC⋯K	$SS_{ABC\cdots K}$	1
误差	$SS_E$	$2^k(n-1)$
总计	$SS_T$	$n2^k-1$

尽管上面描述的计算几乎总是用计算机完成，但偶尔也需要手工计算某个效应的效应估计或平方和。要估计一个效应或计算一个效应的平方和，我们必须先确定与该效应相联系的对照。这总可以借助正负号表（例如表 6.2 或表 6.3）来完成。不过当 $k$ 较大时这样做很笨拙，我们可以改用另一种方法。一般地，我们通过展开下式的右端来确定效应 $AB \cdots K$ 的对照：

\text{Contrast}_{AB \dots K} = (a \pm 1) (b \pm 1) \dots (k \pm 1) \tag{6.21}

展开式 6.21 时使用普通代数，"1"在最终表达式中替换为 (1)。如果该因子包含在效应中，则相应括号内的符号取负号；如果不包含在该效应中，则取正号。

为说明式 6.21 的用法，考虑一个 2³ 因子设计。 $AB$ 的对照为

\begin{array}{r l} \text{Contrast}_{AB} & = (a - 1) (b - 1) (c + 1) \\ & = a b c + a b + c + (1) - a c - b c - a - b \end{array}

作为进一步的例子，在 2⁵ 设计中， $ABCD$ 的对照为

\begin{array}{r l} \mathrm{Contrast}_{AB C D} & = (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1) (e + 1) \\ & = a b c d e + c d e + b d e + a d e + b c e \\ & \quad + a c e + a b e + e + a b c d + c d + b d \\ & \quad + a d + b c + a c + a b + (1) - a - b - c \\ & \quad - a b c - d - a b d - a c d - b c d - a e \\ & \quad - b e - c e - a b c e - d e - a b d e - a c d e - b c d e \end{array}

一旦算出了各效应的对照，我们就可以分别按下式估计效应并计算平方和：

AB \cdot \cdot \cdot K = \frac{2}{n 2^{k}} (\mathrm{Contrast}_{AB \dots K}) \tag{6.22}

以及

SS_{AB \dots K} = \frac{1}{n 2^{k}} (\text{Contrast}_{AB \dots K})^{2} \tag{6.23}

其中 $n$ 表示重复次数。另外还有一种由 Frank Yates 给出的表算法，偶尔在手工计算效应估计和平方和时很有用。参见本章的补充材料。