2.6 关于正态分布方差的推断 - 试验设计与分析中文翻译

在许多试验中，我们关注的是两个处理的平均响应可能存在的差异。然而，在有些试验中，重要的是比较数据的变异。例如在食品饮料行业，灌装设备的变异必须很小，才能使所有包装的内容物净重或净体积都接近名义值。在化学实验室中，我们可能想比较两种分析方法的变异。下面我们简要考察正态分布方差的假设检验和置信区间。与关于均值的检验不同，关于方差的检验程序对正态性假定相当敏感。关于正态性假定的一个很好的讨论见 Davies（1956）的附录 2A。

假设我们希望检验某个正态总体的方差等于常数（例如 $\sigma_{0}^{2}$ ）这一假设。正式地说，我们要检验

\begin{array}{l} H_{0}: \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2} \\ H_{1}: \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2} \end{array} \tag{2.44}

式 2.44 的检验统计量为

\chi_{0}^{2} = \frac{SS}{\sigma_{0}^{2}} = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}} \tag{2.45}

其中 $SS=\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\overline{y})^{2}$ 是样本观测值的校正平方和。 $\chi_{0}^{2}$ 的适当参考分布是自由度为 $n-1$ 的卡方分布。若 $\chi_{0}^{2}>\chi_{\alpha/2,n-1}^{2}$ 或 $\chi_{0}^{2}<\chi_{1-(\alpha/2),n-1}^{2}$ ，则拒绝原假设，其中 $\chi_{\alpha/2,n-1}^{2}$ 和 $\chi_{1-(\alpha/2),n-1}^{2}$ 分别是自由度为 $n-1$ 的卡方分布的上侧 $\alpha/2$ 和下侧 $1-(\alpha/2)$ 分位点。表 2.8 给出了单侧备择假设的临界域。 $\sigma^{2}$ 的 $100(1-\alpha)$ 百分置信区间为

\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{\alpha/2,n-1}^{2}} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{1-(\alpha/2),n-1}^{2}} \tag{2.46}

现在考虑检验两个正态总体方差是否相等。若分别从总体 1 和总体 2 抽取大小为 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的独立随机样本，则对

\begin{array}{l} H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} \\ H_{1}: \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} \end{array} \tag{2.47}

的检验统计量是两个样本方差之比

F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \tag{2.48}

$F_{0}$ 的适当参考分布是分子自由度为 $n_{1}-1$ 、分母自由度为 $n_{2}-1$ 的 $F$ 分布。若 $F_{0}>F_{\alpha/2,n_{1}-1,n_{2}-1}$ 或 $F_{0}<F_{1-(\alpha/2),n_{1}-1,n_{2}-1}$ ，则拒绝原假设，其中 $F_{\alpha/2,n_{1}-1,n_{2}-1}$ 和 $F_{1-(\alpha/2),n_{1}-1,n_{2}-1}$ 表示自由度为 $n_{1}-1$ 和 $n_{2}-1$ 的 $F$ 分布的上侧 $\alpha/2$ 和下侧 $1-(\alpha/2)$ 分位点。附录表 IV 只给出 $F$ 分布的上尾分位点；不过上尾与下尾分位点之间的关系是

F_{1-\alpha,v_{1},v_{2}} = \frac{1}{F_{\alpha,v_{2},v_{1}}} \tag{2.49}

单侧备择假设的临界值在表 2.8 中给出。多于两个方差的检验程序在 3.4.3 节讨论。我们还将讨论在更一般的试验场合下把方差或标准差用作响应变量。

表 2.8 正态分布方差的检验

假设	检验统计量	固定显著性水平的拒绝准则
$H_{0}: \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$		$\chi_{0}^{2} > \chi_{\alpha/2,n-1}^{2}$ 或
$H_{1}: \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}$		$\chi_{0}^{2} < \chi_{1-\alpha/2,n-1}^{2}$
$H_{0}: \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$	$\chi_{0}^{2} = \dfrac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$	$\chi_{0}^{2} < \chi_{1-\alpha,n-1}^{2}$
$H_{1}: \sigma^{2} < \sigma_{0}^{2}$
$H_{0}: \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$
$H_{1}: \sigma^{2} > \sigma_{0}^{2}$		$\chi_{0}^{2} > \chi_{\alpha,n-1}^{2}$
$H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$	$F_{0} = \dfrac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}$	$F_{0} > F_{\alpha/2,n_{1}-1,n_{2}-1}$ 或
$H_{1}: \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}$		$F_{0} < F_{1-\alpha/2,n_{1}-1,n_{2}-1}$
$H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$	$F_{0} = \dfrac{S_{2}^{2}}{S_{1}^{2}}$	$F_{0} > F_{\alpha,n_{2}-1,n_{1}-1}$
$H_{1}: \sigma_{1}^{2} < \sigma_{2}^{2}$
$H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$	$F_{0} = \dfrac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}$	$F_{0} > F_{\alpha,n_{1}-1,n_{2}-1}$
$H_{1}: \sigma_{1}^{2} > \sigma_{2}^{2}$

例 2.3¶

一位化学工程师正在研究可用于监测生产过程输出的两类测试设备的固有变异。他怀疑旧设备（类型 1）比新设备的方差更大。因此他希望检验假设

\begin{array}{c} H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} \\ H_{1}: \sigma_{1}^{2} > \sigma_{2}^{2} \end{array}

抽取两个随机样本，样本量分别为 $n_{1}=12$ 和 $n_{2}=10$ ，样本方差为 $S_{1}^{2}=14.5$ 、 $S_{2}^{2}=10.8$ 。检验统计量为

F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} = \frac{14.5}{10.8} = 1.34

由附录表 IV 查得 $F_{0.05,11,9}=3.10$ ，因此不能拒绝原假设。也就是说，我们没有找到足够的统计证据来断定旧设备的方差大于新设备的方差。

总体方差之比 $\sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^{2}$ 的 $100(1-\alpha)$ 置信区间为

\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} F_{1-\alpha/2,n_{2}-1,n_{1}-1} \leq \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \leq \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} F_{\alpha/2,n_{2}-1,n_{1}-1} \tag{2.50}

为说明式 2.50 的用法，用 $F_{0.025,9,11}=3.59$ 和 $F_{0.975,9,11}=1/F_{0.025,11,9}=1/3.92=0.255$ ，可得例 2.3 中方差之比 $\sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^{2}$ 的 95% 置信区间为^[1]

\frac{14.5}{10.8}(0.255) \leq \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \leq \frac{14.5}{10.8}(3.59)

0.34 \leq \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \leq 4.82

Footnotes¶

原文此处写作“例 2.2”，但方差比较的算例是例 2.3，故按例 2.3 译出；另外原文公式中印作 0.225，按其前面算出的下尾分位点 0.255 与下文结果 0.34 均应为 0.255。——译者注
↩