2.5 关于均值差的推断：配对比较设计 - 试验设计与分析中文翻译

2.5.1 配对比较问题¶

在一些简单比较试验中，通过在被配成对的试验材料内部进行比较，可以极大地提高精度。例如，考虑一台硬度试验机：它用一个尖头以已知的力压入金属试样，通过测量尖头造成的压痕深度来确定试样的硬度。这台机器有两种可用的尖头，虽然两种尖头所做测量的精度（变异）似乎相同，但有人怀疑其中一种尖头给出的平均硬度读数与另一种不同。

试验可以这样进行：随机选取若干金属试样（例如 20 个），其中一半用尖头 1 测试，另一半用尖头 2 测试，试样分配给尖头的具体方案随机确定。由于这是一个完全随机化设计，可以用 2.4 节所述的 $t$ 检验来比较两个样本的平均硬度。

表 2.5 正态分布均值的检验，方差未知

假设	检验统计量	固定显著性水平的拒绝准则	$P$ 值
$H_{0}: \mu = \mu_{0}$
$H_{1}: \mu \neq \mu_{0}$		$\vert t_{0}\vert > t_{\alpha/2,n-1}$	$t_{0}$ 以上与 $-t_{0}$ 以下的概率之和
$H_{0}: \mu = \mu_{0}$
$H_{1}: \mu < \mu_{0}$	$t_{0} = \dfrac{\bar{y}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}$	$t_{0} < -t_{\alpha,n-1}$	$t_{0}$ 以下的概率
$H_{0}: \mu = \mu_{0}$
$H_{1}: \mu > \mu_{0}$		$t_{0} > t_{\alpha,n-1}$	$t_{0}$ 以上的概率
	若 $\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$
$H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2}$
$H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}$	$t_{0} = \dfrac{\bar{y}_{1}-\bar{y}_{2}}{S_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}$	$\vert t_{0}\vert > t_{\alpha/2,v}$	$t_{0}$ 以上与 $-t_{0}$ 以下的概率之和
	$v = n_{1}+n_{2}-2$
	若 $\sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}$
$H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2}$
$H_{1}: \mu_{1} < \mu_{2}$	$t_{0} = \dfrac{\bar{y}_{1}-\bar{y}_{2}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}$	$t_{0} < -t_{\alpha,v}$	$t_{0}$ 以下的概率
$H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2}$
$H_{1}: \mu_{1} > \mu_{2}$	$v = \dfrac{\left(\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{\frac{(S_{1}^{2}/n_{1})^{2}}{n_{1}-1}+\frac{(S_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{n_{2}-1}}$	$t_{0} > t_{\alpha,v}$	$t_{0}$ 以上的概率

稍加思考就会发现，对于这个问题，完全随机化设计有一个严重的缺点。假设这些金属试样是从不同炉次生产的、或者在其他方面并不完全均匀（而这一点可能影响硬度）的不同棒材上切下来的。试样之间的这种非齐同性会增加硬度测量的变异，并倾向于抬高试验误差，从而使两种尖头之间的真实差异更难检出。

为了防止这种可能，考虑另一种试验设计。假设每个试样都足够大，可以在其上做两次硬度测定。这一替代设计就是把每个试样分成两部分，然后随机地把一种尖头分配给每个试样的一半，把另一种尖头分配给剩下的一半；对某个特定试样，两种尖头测试的先后顺序也随机确定。按这一设计用 10 个试样做试验，得到的数据（已编码）见表 2.6。

表 2.6 硬度试验的数据

试样	尖头 1	尖头 2
1	7	6
2	3	3
3	3	5
4	4	3
5	8	8
6	3	2
7	2	4
8	9	9
9	5	4
10	4	5

我们可以写出描述这一试验数据的统计模型：

y_{ij} = \mu_{i}+\beta_{j}+\varepsilon_{ij} \quad \left\{ \begin{array}{l} i = 1, 2 \\ j = 1, 2, \ldots, 10 \end{array} \right. \tag{2.39}

其中 $y_{ij}$ 是尖头 $i$ 在第 $j$ 个试样上的硬度观测值， $\mu_{i}$ 是第 $i$ 种尖头的真实平均硬度， $\beta_{j}$ 是第 $j$ 个试样对硬度的影响， $\varepsilon_{ij}$ 是均值为零、方差为 $\sigma_{i}^{2}$ 的随机试验误差。也就是说， $\sigma_{1}^{2}$ 是尖头 1 硬度测量的方差， $\sigma_{2}^{2}$ 是尖头 2 硬度测量的方差。

注意，如果我们计算第 $j$ 个配对差（paired difference）

d_{j} = y_{1j}-y_{2j} \quad j = 1, 2, \ldots, 10 \tag{2.40}

则该差的期望值为

\begin{aligned} \mu_{d} &= E(d_{j}) \\ &= E(y_{1j}-y_{2j}) \\ &= E(y_{1j})-E(y_{2j}) \\ &= \mu_{1}+\beta_{j}-(\mu_{2}+\beta_{j}) \\ &= \mu_{1}-\mu_{2} \end{aligned}

也就是说，我们可以通过对差值均值 $\mu_{d}$ 作推断，来对两种尖头的平均硬度读数之差 $\mu_{1}-\mu_{2}$ 作推断。注意当观测值以这种方式配对后，试样的可加效应 $\beta_{j}$ 就消掉了。

检验 $H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}$ 等价于检验

\begin{array}{l} H_{0}: \mu_{d} = 0 \\ H_{1}: \mu_{d} \neq 0 \end{array}

这是一个单样本 $t$ 检验。该假设的检验统计量为

t_{0} = \frac{\overline{d}}{S_{d}/\sqrt{n}} \tag{2.41}

其中

\overline{d} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} d_{j} \tag{2.42}

是差值的样本均值，而

S_{d} = \left[\frac{\sum_{j=1}^{n} (d_{j}-\overline{d})^{2}}{n-1}\right]^{1/2} = \left[\frac{\sum_{j=1}^{n} d_{j}^{2}-\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n} d_{j}\right)^{2}}{n-1}\right]^{1/2} \tag{2.43}

是差值的样本标准差。若 $|t_{0}|>t_{\alpha/2,n-1}$ 则拒绝 $H_{0}:\mu_{d}=0$ 。也可以使用 $P$ 值方法。由于来自两个因子水平的观测值是在每个试验单元上“配对”的，这一程序通常称为配对 $t$ 检验（paired $t$ -test）。

对表 2.6 中的数据，我们得到

\begin{array}{ll} d_{1} = 7-6 = 1 & d_{6} = 3-2 = 1 \\ d_{2} = 3-3 = 0 & d_{7} = 2-4 = -2 \\ d_{3} = 3-5 = -2 & d_{8} = 9-9 = 0 \\ d_{4} = 4-3 = 1 & d_{9} = 5-4 = 1 \\ d_{5} = 8-8 = 0 & d_{10} = 4-5 = -1 \end{array}

因此

\overline{d} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} d_{j} = \frac{1}{10}(-1) = -0.10

S_{d} = \left[\frac{\sum_{j=1}^{n} d_{j}^{2}-\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n} d_{j}\right)^{2}}{n-1}\right]^{1/2} = \left[\frac{13-\frac{1}{10}(-1)^{2}}{10-1}\right]^{1/2} = 1.20

假设我们取 $\alpha=0.05$ 。为作出决策，我们计算 $t_{0}$ ，若 $|t_{0}|>t_{0.025,9}=2.262$ 则拒绝 $H_{0}$ 。配对 $t$ 检验统计量的计算值为

t_{0} = \frac{\overline{d}}{S_{d}/\sqrt{n}} = \frac{-0.10}{1.20/\sqrt{10}} = -0.26

由于 $|t_{0}|=0.26 \not\geq t_{0.025,9}=2.262$ ，我们不能拒绝假设 $H_{0}: \mu_{d}=0$ 。也就是说，没有证据表明两种尖头给出不同的硬度读数。图 2.15 给出了自由度为 9 的 $t_{0}$ 分布（本检验的参考分布），并标出了 $t_{0}$ 的值相对于临界域的位置。

表 2.7 给出了用 Minitab 配对 $t$ 检验程序解决该问题时的计算机输出。注意该检验的 $P$ 值为 $P \simeq 0.80$ ，这意味着我们在任何合理的显著性水平下都不能拒绝原假设。

2.5.2 配对比较设计的优点¶

这一试验实际采用的设计称为配对比较设计（paired comparison design），它体现了 1.3 节讨论的区组化原则。实际上，它是一种更一般设计类型的特例，即随机区组设计（randomized block design）。术语区组（block）指的是一个相对齐同的试验单元（在我们的情形中，金属试样就是区组），区组代表对完全随机化的一种限制，因为处理组合只在区组内部随机化。我们将在第 4 章讨论这类设计。在第 4 章中，该设计的数学模型（式 2.39）会写成略有不同的形式。

图 2.15 硬度试验问题的参考分布（自由度为 9 的 $t$ 分布）

表 2.7 硬度试验例子的 Minitab 配对 $t$ 检验结果

Paired T for Tip 1-Tip 2
	N	Mean	Std. Dev.	SE Mean
Tip 1	10	4.800	2.394	0.757
Tip 2	10	4.900	2.234	0.706
Difference	10	-0.100	1.197	0.379
95% CI for mean difference: (-0.956, 0.756) t-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -0.26 P-Value = 0.798

在结束这个试验的讨论之前，有几点需要说明。注意，虽然取了 $2n=2(10)=20$ 个观测值，但 $t$ 统计量只有 $n-1=9$ 个自由度可用。（我们知道 $t$ 的自由度越大，检验就越灵敏。）通过区组化或配对，我们实际上“损失”了 $n-1$ 个自由度，但我们希望通过消除一个额外的变异来源（试样之间的差异）而更好地了解情况。

我们可以通过比较差值的标准差 $S_{d}$ 与合并标准差 $S_{p}$ 来了解配对设计所产生信息的质量，其中 $S_{p}$ 是试验以完全随机化方式实施、并得到表 2.6 数据时所会得到的值。^[1] 把表 2.6 中的数据当作两个独立样本，由式 2.25 算得合并标准差 $S_{p}=2.32$ 。把这一值与 $S_{d}=1.20$ 相比较，可见区组化或配对把变异的估计降低了将近 50%。

一般来说，当我们本该区组化（或配对）却没有这样做时， $S_{p}$ 总会大于 $S_{d}$ 。这很容易形式化地证明。如果我们把观测值配对，就容易证明在式 2.39 的模型下 $S_{d}^{2}$ 是差值 $d_{j}$ 方差的无偏估计量，因为计算差值时区组效应（ $\beta_{j}$ ）被消掉了。然而，如果我们不做区组化（或配对），而把观测值当作两个独立样本处理，那么在式 2.39 的模型下 $S_{p}^{2}$ 就不是 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量。事实上，假定两个总体方差相等，有

E(S_{p}^{2}) = \sigma^{2}+\sum_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}

也就是说，区组效应 $\beta_{j}$ 抬高了方差估计。这就是区组化可以作为一种降噪设计技术的原因。

我们也可以用 $\mu_{1}-\mu_{2}$ 的置信区间来表达这一试验的结果。使用配对数据， $\mu_{1}-\mu_{2}$ 的 95% 置信区间为

\begin{array}{c} \overline{d} \pm t_{0.025,9} S_{d}/\sqrt{n} \\ -0.10 \pm (2.262)(1.20)/\sqrt{10} \\ -0.10 \pm 0.86 \end{array}

反之，使用合并的（即独立的）分析， $\mu_{1}-\mu_{2}$ 的 95% 置信区间为

\begin{array}{c} \overline{y}_{1}-\overline{y}_{2} \pm t_{0.025,18} S_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \\ 4.80-4.90 \pm (2.101)(2.32)\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}} \\ -0.10 \pm 2.18 \end{array}

基于配对分析的置信区间比基于独立分析的置信区间窄得多。这再次说明了区组化的降噪特性。

区组化并不总是最好的设计策略。如果区组内变异与区组间变异相同，那么无论采用哪种设计， $\overline{y}_{1}-\overline{y}_{2}$ 的方差都一样。实际上在这种情况下区组化是一个糟糕的设计选择，因为区组化会导致损失 $n-1$ 个自由度，从而实际上使 $\mu_{1}-\mu_{2}$ 的置信区间更宽。关于区组化的进一步讨论见第 4 章。

Footnotes¶

原文此处写作“表 2.5”，但表 2.5 是均值检验的汇总表，硬度试验的数据在表 2.6，故按表 2.6 译出。——译者注
↩