7.8 部分混杂

我们在 7.4 节提到，除非试验者事先有误差的估计，或者愿意假定某些交互作用可以忽略，否则必须重复设计才能得到误差的估计。图 7.3 给出 $ABC$ 混杂的 2³ 因子设计分成两个区组、重复四次的情形。由该设计的方差分析（表 7.5）可以看到，关于 $ABC$ 交互作用的信息无法找回，因为 $ABC$ 在每次重复中都同区组混杂。这样的设计称为完全混杂（completely confounded）的设计。

考虑图 7.7 所示的另一种做法。这里同样是 2³ 设计的四次重复，但每次重复中混杂的是不同的交互作用。也就是说，重复 I 中混杂 $ABC$，重复 II 中混杂 $AB$，重复 III 中混杂 $BC$，重复 IV 中混杂 $AC$。结果，关于 $ABC$ 的信息可以从重复 II、III、IV 的数据中得到；关于 $AB$ 的信息可以从重复 I、III、IV 中得到；关于 $AC$ 的信息可以从重复 I、II、III 中得到；关于 $BC$ 的信息可以从重复 I、II、IV 中得到。我们说关于这些交互作用可以得到 3/4 的信息，因为它们只在三次重复中未被混杂。Yates (1937) 把比值 3/4 称为混杂效应的相对信息量（relative information）。这样的设计称为部分混杂（partially confounded）的设计。

该设计的方差分析见表 7.10。在计算各交互作用的平方和时，只使用该交互作用未被混杂的那些重复的数据。误差平方和由重复 × 主效应的平方和，加上各重复中该交互作用未被混杂时的重复 × 交互作用平方和构成（例如，对重复 II、III、IV 而言是重复 × $ABC$）。此外，八个区组之间有七个自由度，这通常分解为重复的 3 个自由度和重复内区组的 4 个自由度。区组平方和的构成见表 7.10，它直接由各重复中混杂效应的选择决定。

图 7.7 2³ 设计中的部分混杂

表 7.10 部分混杂的 2³ 设计的方差分析

例 7.3 带部分混杂的 2³ 设计¶

考虑例 6.1，其中进行了一项试验以开发等离子刻蚀工艺。共有三个因子：A = 间距、B = 气体流量、C = 射频功率，响应变量为刻蚀速率。假设一个班次内只能试验四个处理组合，并且由于刻蚀设备性能可能存在班次之间的差异，试验者决定把班次用作区组因子。因此，2³ 设计的每次重复必须分成两个区组运行。共运行两次重复，重复 I 混杂 $ABC$，重复 II 混杂 $AB$。数据如下：

$A$、$B$、$C$、$AC$ 和 $BC$ 的平方和可以用全部 16 个观测按通常方式计算。

不过，我们必须只用重复 II 的数据求 $SS_{ABC}$、只用重复 I 的数据求 $SS_{AB}$，如下：

重复的平方和一般地为

其中 $R_{h}$ 是第 $h$ 次重复中观测值的总和。区组平方和是来自重复 I 的 $SS_{ABC}$ 与来自重复 II 的 $SS_{AB}$ 之和，即 $SS_{Blocks} = 458.1250$。

方差分析汇总于表 7.11。主效应 A、C 以及 $AC$ 交互作用是重要的。

表 7.11 例 7.3 的方差分析