7.4 把 2^{k} 因子设计混杂在两个区组中

假设我们希望做 2² 设计的单次重复。例如，$2^{2}=4$ 个处理组合各需要一定量的原材料，而每批原材料只够试验两个处理组合。因此需要两批原材料。如果把原材料批次看作区组，那么我们必须把四个处理组合中的两个分配给每个区组。

图 7.1 给出该问题的一种可能设计。几何视图（图 7.1a）表明，位于相对两条对角线上的处理组合被分配到不同的区组。由图 7.1b 可见，区组 1 包含处理组合 (1) 和 $ab$，区组 2 包含 $a$ 和 $b$。当然，区组内处理组合的进行顺序是随机确定的，先做哪个区组也是随机决定的。假设我们完全像没有区组化那样估计 A 与 B 的主效应。由式 6.1 和 6.2 得到

注意 A 与 B 都不受区组化影响，因为在每个估计中，来自每个区组的都有一个取正号和一个取负号的处理组合。也就是说，区组 1 与区组 2 之间的任何差别都会抵消。

现在考虑 $AB$ 交互作用

由于两个取正号的处理组合 $[ab$ 与 (1)$]$ 在区组 1 中，两个取负号的处理组合（$a$ 与 $b$）在区组 2 中，所以区组效应与 $AB$ 交互作用是相同的。也就是说，$AB$ 与区组混杂。

这一点的原因从 2² 设计的正负号表可以看得很清楚。该表原先是表 6.2，为方便起见在这里重印为表 7.3。由该表可见，在 $AB$ 上取正号的所有处理组合都被分配到区组 1，而在 $AB$ 上取负号的所有处理组合都被分配到区组 2。这一做法可用来把任何效应（A、B 或 AB）与区组混杂。例如，如果把 (1) 和 $b$ 分配到区组 1、把 $a$ 和 $ab$ 分配到区组 2，那么主效应 A 就会与区组混杂。通常的做法是把最高阶交互作用与区组混杂。

表 7.3 2² 设计的正负号表

图 7.1 分成两个区组的 2² 设计

这一方案可用来把任何 $2^{k}$ 设计混杂在两个区组中。作为第二个例子，考虑分成两个区组的 2³ 设计。假设我们希望把三因子交互作用 $ABC$ 与区组混杂。由表 7.4 所示的正负号表，我们把在 $ABC$ 上取负号的处理组合分配到区组 1，把在 $ABC$ 上取正号的处理组合分配到区组 2。所得设计见图 7.2。我们再次强调，区组内的处理组合按随机顺序进行。

表 7.4 2³ 设计的正负号表

图 7.2 混杂 $ABC$ 的 2³ 设计分成两个区组

（几何视图；八个处理组合在两个区组中的分配）

**构造区组的其他方法。**构造这些设计还有另一种方法。该方法使用线性组合

其中 $x_{i}$ 是出现在某个特定处理组合中的第 $i$ 个因子的水平，$\alpha_{i}$ 是待混杂效应中第 $i$ 个因子上的指数。对 $2^{k}$ 体系，我们有 $\alpha_{i}=0$ 或 1，$x_{i}=0$（低水平）或 $x_{i}=1$（高水平）。式 7.1 称为定义对照（defining contrast）。产生相同 $L$ 值（模 2）的处理组合将被放入同一个区组。由于 $L$（模 2）的可能取值只有 0 和 1，这就把 $2^{k}$ 个处理组合恰好分配到两个区组中。

为说明该做法，考虑 $ABC$ 与区组混杂的 2³ 设计。这里 $x_{1}$ 对应 A，$x_{2}$ 对应 B，$x_{3}$ 对应 C，且 $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \alpha_{3} = 1$。于是对应于 $ABC$ 的定义对照为

处理组合 (1) 在 (0, 1) 记号下写作 000，因此

类似地，处理组合 $a$ 是 100，给出

因此 (1) 和 $a$ 将在不同区组中运行。对余下的处理组合，我们有

因此 (1)、$ab$、$ac$ 和 $bc$ 在区组 1 中运行，$a$、$b$、$c$ 和 $abc$ 在区组 2 中运行。这与图 7.2 所示的设计相同，该设计是由正负号表生成的。

还可以用另一种方法来构造这些设计。包含处理组合 (1) 的区组称为主区组（principal block）。主区组中的处理组合有一个有用的群论性质，即它们关于模 2 乘法构成一个群。这意味着主区组中任何元素 [除 (1) 外] 都可以由主区组中另外两个元素作模 2 乘法而生成。例如，考虑图 7.2 中 $ABC$ 混杂的 2³ 设计的主区组。注意

另一个（或另一些）区组中的处理组合，可以由新区组中的一个元素与主区组中每个元素作模 2 乘法而生成。对 $ABC$ 混杂的 2³ 设计，由于主区组是 (1)、$ab$、$ac$ 和 $bc$，而我们知道 $b$ 在另一个区组中，所以第二个区组的元素为

这与前面所得结果一致。

**误差的估计。**当变量个数较少时，比如 $k = 2$ 或 3，通常必须重复试验才能得到误差的估计。例如，假设必须把 $ABC$ 混杂的 2³ 因子试验安排在两个区组中运行，而试验者决定把该设计重复四次。所得设计可能如图 7.3 所示。注意 $ABC$ 在每次重复中都被混杂。

该设计的方差分析见表 7.5。共有 32 个观测值、31 个总自由度。此外，由于有八个区组，必须有七个自由度与这些区组相联系。表 7.5 给出了这七个自由度的一种分解方式。误差平方和实际上由重复与各效应（$A$、$B$、$C$、$AB$、$AC$、$BC$）之间的交互作用构成。通常可以放心地把这些交互作用视为零，并把所得均方当作误差的估计。主效应和两因子交互作用对误差均方作检验。Cochran 和 Cox (1957) 指出，可以把区组（或 $ABC$）均方与 $ABC$ 的误差均方作比较，后者实际上是重复 × 区组。这种检验通常很不灵敏。

图 7.3 混杂 $ABC$ 的 2³ 设计的四次重复

如果资源足以允许对有混杂的设计作重复，一般最好在每次重复中对区组采用稍有不同的设计方法。这种做法是在每次重复中混杂一个不同的效应，从而获得关于所有效应的部分信息。这种程序称为部分混杂（partial confounding），将在 7.8 节讨论。

如果 $k$ 中等偏大，比如 $k \geq 4$，我们往往只负担得起单次重复。此时试验者通常假定高阶交互作用可以忽略，并把它们的平方和合并作为误差。因子效应的正态概率图对此很有帮助。

表 7.5 混杂 $ABC$ 的 2³ 设计四次重复的方差分析

例 7.2¶

考虑例 6.2 所描述的情形。回顾该例研究了四个因子——温度 (A)、压力 (B)、甲醛浓度 (C) 和搅拌速率 (D)——在中间试验工厂中对产品过滤速率的影响。我们将用这一试验来说明无重复设计中区组化与混杂的想法。我们对原试验作两处改动。第一，假设 $2^{4} = 16$ 个处理组合不能全部用同一批原材料完成。试验者用单批材料可以做八个处理组合，所以把 2⁴ 设计混杂在两个区组中看起来是合适的。合乎逻辑的做法是把最高阶交互作用 $ABCD$ 与区组混杂。定义对照为

容易验证设计如图 7.4 所示。另一种做法是查看表 6.11，注意到在 $ABCD$ 列中取 + 的处理组合被分配到区组 1，在 $ABCD$ 列中取 − 的处理组合在区组 2 中。

我们要作的第二处改动是引入一个区组效应，以演示区组化的作用。假设在选取运行该试验所需的两批原材料时，其中一批质量差得多，结果是该批材料的所有响应都比另一批低 20 个单位。质量差的那批成为区组 1，质量好的那批成为区组 2（哪批称为区组 1、哪批称为区组 2 无关紧要）。现在区组 1 中的所有试验先做（当然，区组内的八次试验按随机顺序进行），但响应比使用好质量材料时低 20 个单位。图 7.4b 给出所得的响应——注意这些响应是把区组效应从例 6.2 给出的原始观测值中减去而得到的。也就是说，处理组合 (1) 的原始响应为 45，而在图 7.4b 中记为 $(1) = 25\ (= 45 - 20)$。该区组中其他响应也类似得到。区组 1 的试验做完后，接着做区组 2 的八次试验。这批原材料没有问题，所以响应与例 6.2 中原先的完全一样。

图 7.4 例 7.2 的 2⁴ 设计分成两个区组

"修改后"的例 6.2 的效应估计见表 7.6。注意四个主效应、六个两因子交互作用和四个三因子交互作用的估计与例 6.2 中（那里

表 7.6 例 7.2 中区组化 2⁴ 设计的效应估计

没有区组效应时）所得的效应估计完全相同。对这些效应估计作正态概率图时，因子 A、C、D 以及 $AC$、$AD$ 交互作用作为重要效应浮现出来，与原试验一样。（读者应自行验证。）

那么 $ABCD$ 交互作用效应如何呢？在原试验（例 6.2）中该效应的估计为 $ABCD = 1.375$。在本例中，$ABCD$ 交互作用效应的估计为 $ABCD = -18.625$。由于 $ABCD$ 与区组混杂，$ABCD$ 估计的是原交互效应（1.375）加上区组效应（−20），所以 $ABCD = 1.375 + (-20) = -18.625$。（你能看出区组效应为什么是 −20 吗？）区组效应也可以直接由两个区组平均响应之差算出，即

当然，这个效应真正估计的是区组 + ABCD。

表 7.7 汇总了该试验的方差分析。估计值大的效应被纳入模型，区组平方和为

该试验的结论与不存在区组效应的例 6.2 的结论完全一致。

注意，如果该试验没有在区组中运行，而一个大小为 −20 的效应影响了前八次试验（在无区组设计中这 16 次试验按随机顺序进行，所以这八次是随机选出的），那么结果可能大不相同。

表 7.7 例 7.2 的方差分析

下面的显示给出假定区组为随机、用 REML 作分析时 JMP 的输出。该分析只考虑主效应和两因子交互作用，但基本上与例 7.2 给出的分析一致，把因子 X1、X3、X4 以及两个交互作用 X1X3 和 X1X4 识别为显著。区组方差分量的置信区间极宽且包含零。这大概是只有两个区组、只有一个自由度用来估计与区组相联系的方差分量所造成的假象。

Response Y

Effect Summary

Summary of Fit

Parameter Estimates

Fixed Effect Tests

REML Variance Component Estimates

−2 Log Likelihood = 65.536279358 Note: Total is the sum of the positive variance components. Total including negative estimates = 199.75