7.2 对有重复的 2^{k} 因子设计作区组化 - 试验设计与分析中文翻译

假设 $2^{k}$ 因子设计重复了 $n$ 次。这与第 5 章讨论的情形相同，在那里我们说明了如何把一般因子试验安排在区组中。如果有 $n$ 次重复，那么每一组非齐性条件就定义一个区组，而每次重复都在其中一个区组内进行。每个区组（或每次重复）内的试验按随机顺序进行。该设计的分析与任何区组化因子试验类似；例如见 5.6 节的讨论。

例 7.1¶

考虑 6.2 节首次描述的化学过程试验。假设单批原材料只能做四次试验。因此，要完成该设计的全部三次重复，需要三批原材料。表 7.1 给出该设计，其中每批原材料对应一个区组。

表 7.1 安排在三批原材料（区组）中的化学过程试验

	区组 1	区组 2	区组 3
	(1) = 28	(1) = 25	(1) = 27
	$a$ = 36	$a$ = 32	$a$ = 32
	$b$ = 18	$b$ = 19	$b$ = 23
	$ab$ = 31	$ab$ = 30	$ab$ = 29
区组合计：	$B_1$ = 113	$B_2$ = 106	$B_3$ = 111

区组的平方和由区组合计计算。设 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 和 $B_{3}$ 表示区组合计（见表 7.1），则

\begin{array}{r l} SS_{\text{Blocks}} & = \sum_{i = 1}^{3} \frac{B_{i}^{2}}{4} - \frac{y_{...}^{2}}{12} \\ & = \frac{(113)^{2} + (106)^{2} + (111)^{2}}{4} - \frac{(330)^{2}}{12} \\ & = 6.50 \end{array}

三个区组之间有两个自由度。表 7.2 表明：如果该设计在区组中运行，所得结论与 6.2 节的结论完全相同，而且区组效应相对较小。区组的 $F$ 统计量为 $F_{0} = (6.50/2)/4.14 = 0.79$ ，不显著。

表 7.2 分成三个区组的化学过程试验的方差分析

变异来源	平方和	自由度	均方	$F_0$	$P$ 值
区组	6.50	2	3.25
A（浓度）	208.33	1	208.33	50.32	0.0004
B（催化剂）	75.00	1	75.00	18.12	0.0053
AB	8.33	1	8.33	2.01	0.2060
误差	24.84	6	4.14
总计	323.00	11

Source	LogWorth	P-Value
Concentration	3.405	0.00039
Catalyst	2.272	0.00534
Concentration*Catalyst	0.687	0.20571

Summary of Fit

RSquare 0.89048

RSquare Adj 0.849409

Root Mean Square Error 2.034426

Mean of Response 27.5

Parameter Estimates

Term	Estimate	Std Error	DFDen	t Ratio	Prob > \|t\|
Intercept	27.5	0.520416	2	52.84	0.0004*
Concentration	4.1666667	0.587288	6	7.09	0.0004*
Catalyst	−2.5	0.587288	6	−4.26	0.0053*
Concentration*Catalyst	0.8333333	0.587288	6	1.42	0.2057

REML Variance Component Estimates

Random

Effect	Var Ratio	Var Component	Std Error	95% Lower	95% Upper	Pct of Total
Blocks	−0.053691	−0.222222	1.0084838	−2.198814	1.7543697	0.000
Residual		4.1388889	2.3895886	1.7186441	20.069866	100.000
Total		4.1388889	2.3895886	1.7186441	20.069866	100.000

−2 LogLikelihood = 43.522517328 Note: Total is the sum of the positive variance components. Total including negative estimates = 3.9166667

Fixed Effect Tests

Source	Nparm	DF	DFDen	F Ratio	Prob > F
Concentration	1	1	6	50.3356	0.0004*
Catalyst	1	1	6	18.1208	0.0053*
Concentration*Catalyst	1	1	6	2.0134	0.2057