7.7 把 2^{k} 因子设计混杂在 2^{p} 个区组中

上述方法可以推广到构造混杂在 $2^{p}$ 个区组（ $p < k$ ）中的 $2^{k}$ 因子设计，其中每个区组恰好包含 $2^{k-p}$ 次试验。我们选择 $p$ 个独立的待混杂效应，这里"独立"是指所选的效应中没有一个是其他效应的广义交互作用。各区组可以借助与这些效应相联系的 $p$ 个定义对照 $L_{1}, L_{2}, \ldots, L_{p}$ 来生成。此外，恰有 $2^{p} - p - 1$ 个其他效应将与区组混杂，它们就是最初所选这 $p$ 个独立效应的广义交互作用。在选择待混杂效应时应小心，以免牺牲可能有兴趣的效应上的信息。

这些设计的统计分析很直接。所有效应的平方和都像没有区组化那样计算。然后，把与区组混杂的所有效应的平方和相加，就得到区组的平方和。

显然，用来生成区组的那 $p$ 个效应的选择至关重要，因为设计的混杂结构直接取决于它们。表 7.9 给出一份有用的设计清单。为说明该表的用法，假设我们希望构造混杂在 $2^{3}=8$ 个区组中、每个区组含 $2^{3}=8$ 次试验的 2⁶ 设计。表 7.9 表明我们应选择 $ABEF$ 、 $ABCD$ 和 $ACE$ 作为生成区组的 $p=3$ 个独立效应。其余 $2^{p}-p-1=2^{3}-3-1=4$ 个被混杂的效应是这三者的广义交互作用，即

表 7.9 $2^{k}$ 因子设计建议的区组安排

因子个数 $k$	区组数 $2^p$	区组大小 $2^{k-p}$	用来生成区组的效应	与区组混杂的交互作用
3	2	4	ABC	ABC
3	4	2	AB, AC	AB, AC, BC
4	2	8	ABCD	ABCD
4	4	4	ABC, ACD	ABC, ACD, BD
4	8	2	AB, BC, CD	AB, BC, CD, AC, BD, AD, ABCD
5	2	16	ABCDE	ABCDE
5	4	8	ABC, CDE	ABC, CDE, ABDE
5	8	4	ABE, BCE, CDE	ABE, BCE, CDE, AC, ABCD, BD, ADE
5	16	2	AB, AC, CD, DE	所有两因子和四因子交互作用（15 个效应）
6	2	32	ABCDEF	ABCDEF
6	4	16	ABCF, CDEF	ABCF, CDEF, ABDE
6	8	8	ABEF, ABCD, ACE	ABEF, ABCD, ACE, BCF, BDE, CDEF, ADF
6	16	4	ABF, ACF, BDF, DEF	ABF, ACF, BDF, DEF, BC, ABCD, ABDE, AD, ACDE, CE, CDF, BCDEF, ABCEF, AEF, BE
6	32	2	AB, BC, CD, DE, EF	所有两因子、四因子和六因子交互作用（31 个效应）
7	2	64	ABCDEFG	ABCDEFG
7	4	32	ABCFG, CDEFG	ABCFG, CDEFG, ABDE
7	8	16	ABCD, CDEF, ADFG	ABC, DEF, AFG, ABCDEF, BCFG, ADEG, BCDEG
7	16	8	ABCD, EFG, CDE, ADG	ABCD, EFG, CDE, ADG, ABCDEFG, ABE, BCG, CDFG, ADEF, ACEG, ABFG, BCEF, BDEG, ACF, BDF
7	32	4	ABG, BCG, CDG, DEG, EFG	ABG, BCG, CDG, DEG, EFG, AC, BD, CE, DF, AE, BF, ABCD, ABDE, ABEF, BCDE, BCEF, CDEF, ABCDEFG, ADG, ACDEG, ACEFG, ABDFG, ABCEG, BEG, BDEFG, CFG, ADEF, ACDF, ABCF, AFG, BCDFG
7	64	2	AB, BC, CD, DE, EF, FG	所有两因子、四因子和六因子交互作用（63 个效应）

(AB E F) (AB C D) = A^{2} B^{2} C D E F = C D E F

(AB E F) (A C E) = A^{2} B C E^{2} F = B C F

(AB C D) (A C E) = A^{2} B C^{2} E D = B D E

(AB E F) (AB C D) (A C E) = A^{3} B^{2} C^{2} D E^{2} F = A D F

请读者在习题 7.10 中生成该设计的八个区组。