5.2 因子设计的优点

因子设计的优点很容易说明。假设有两个因子 A 和 B，都取两个水平。记因子的水平为 $A^{-}$、$A^{+}$、$B^{-}$ 和 $B^{+}$。两个因子的信息可以通过每次只改变一个因子来获得，如图 5.7 所示。改变因子 A 的效应由 $A^{+}B^{-}-A^{-}B^{-}$ 给出，改变因子 B 的效应由 $A^{-}B^{+}-A^{-}B^{-}$ 给出。由于存在试验误差，最好在每个处理组合上取两个观测值，并用平均响应来估计各因子的效应。这样总共需要六个观测值。

图 5.7 一次只改变一个因子的试验

图 5.8 因子设计相对于一次只改变一个因子试验的相对效率（两水平因子）

如果做的是因子试验，就会多取一个处理组合 $A^{+}B^{+}$。此时只用了四个观测值就可以得到 A 效应的两个估计：$A^{+}B^{-}-A^{-}B^{-}$ 与 $A^{+}B^{+}-A^{-}B^{+}$。类似地也可以得到 B 效应的两个估计。把每个主效应的这两个估计平均起来，可以得到与单因子试验同样精确的平均主效应，但只需四个观测值，因此我们说因子设计相对于一次只改变一个因子试验的相对效率为 $(6/4)=1.5$。一般地，随着因子个数的增加，这一相对效率还会提高，如图 5.8 所示。

现在假设存在交互作用。如果一次只改变一个因子的设计表明 $A^{-}B^{+}$ 与 $A^{+}B^{-}$ 给出的响应优于 $A^{-}B^{-}$，一个合乎逻辑的结论会是 $A^{+}B^{+}$ 更好。然而，如果存在交互作用，这一结论可能严重错误。一个例子可参见图 5.2 中的试验。

总而言之，注意因子设计有几个优点。它们比一次只改变一个因子的试验更有效。此外，当可能存在交互作用时，必须使用因子设计以避免误导性的结论。最后，因子设计允许在其他因子的若干水平上估计某个因子的效应，从而使结论在一系列试验条件下都成立。