5.1 基本定义与原理

许多试验都涉及两个或更多因子效应的研究。一般地，因子设计对这类试验最为有效。所谓因子设计（factorial design），是指在试验的每次完整试验或每次重复中，都要考察各因子水平的所有可能组合。例如，如果因子 A 有 $a$ 个水平、因子 B 有 $b$ 个水平，则每次重复包含全部 $ab$ 个处理组合。当因子以因子设计的方式安排时，通常称它们是交叉的（crossed）。

一个因子的效应（effect）定义为因子水平改变所引起的响应变化。这常常称为主效应（main effect），因为它指的是试验中主要关注的因子。例如，考虑图 5.1 中的简单试验。这是一个两因子因子试验，两个设计因子都取两个水平。我们把这些水平称为"低"和"高"，分别记为"−"和"+"。该两水平设计中因子 A 的主效应可以看作 A 低水平下的平均响应与 A 高水平下的平均响应之差。数值上为

图 5.1 一个两因子因子试验，各角点标出响应值 $y$

图 5.2 一个含交互作用的两因子因子试验

也就是说，把因子 A 由低水平提高到高水平使平均响应增加 21 个单位。类似地，B 的主效应为

如果因子取两个以上的水平，上述做法必须修改，因为定义因子效应的方式不止一种。这一点后面还会更完整地讨论。

在某些试验中，我们可能发现一个因子各水平之间响应的差异并非在另一因子的所有水平上都相同。出现这种情况时，因子之间就存在交互作用（interaction）。例如，考虑图 5.2 所示的两因子因子试验。在因子 B 的低水平（即 $B^{-}$）下，A 的效应为

而在因子 $B$ 的高水平（即 $B^{+}$）下，$A$ 的效应为

由于 $A$ 的效应取决于因子 $B$ 所取的水平，我们看到 $A$ 与 $B$ 之间存在交互作用。交互效应的大小就是这两个 $A$ 效应的平均差，即 $AB = (-28 - 30)/2 = -29$。显然，该试验中的交互作用很大。

这些概念可以用图形说明。图 5.3 把图 5.1 的响应数据对因子 A 作图，其中分别画出因子 B 的两个水平。注意 $B^{-}$ 与 $B^{+}$ 两条线近似平行，说明因子 A 与 B 之间不存在交互作用。类似地，图 5.4 把图 5.2 的响应数据作图。这里我们看到 $B^{-}$ 与 $B^{+}$ 两条线不平行，说明因子 A 与 B 之间存在交互作用。这类两因子交互作用图在解释显著交互作用、以及向未受过统计训练的人员报告结果时常常非常有用。不过，它们不应被当作数据分析的唯一手段，因为其解释带有主观性，而且图形外观往往会产生误导。

说明交互作用概念还有另一种方式。假设我们的两个设计因子都是定量的（例如温度、压力、时间）。那么两因子因子试验的回归模型可以写成

其中 $y$ 是响应，$\beta$ 是待定参数，$x_{1}$ 是表示因子 $A$ 的变量，$x_{2}$ 是表示因子 $B$ 的变量，$\epsilon$ 是随机误差项。变量 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 定义在 -1 到 +1 的编码尺度上（分别对应 $A$ 和 $B$ 的低水平与高水平），而 $x_{1}x_{2}$ 表示 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 之间的交互作用。

图 5.3 一个无交互作用的因子试验

图 5.4 一个含交互作用的因子试验

这一回归模型中的参数估计与效应估计有关。对图 5.1 所示的试验，我们求得 A 与 B 的主效应为 $A = 21$、$B = 11$。$\beta_{1}$ 与 $\beta_{2}$ 的估计是对应主效应值的一半；因此 $\hat{\beta}_{1} = 21/2 = 10.5$、$\hat{\beta}_{2} = 11/2 = 5.5$。图 5.1 中的交互效应为 $AB = 1$，所以回归模型中交互作用系数的值为 $\hat{\beta}_{12} = 1/2 = 0.5$。参数 $\beta_{0}$ 由四个响应的平均估计，即 $\hat{\beta}_{0} = (20 + 40 + 30 + 52)/4 = 35.5$。因此拟合的回归模型为

对于所有因子都取两个水平（$-$ 和 $+$）的因子设计，用这一方式得到的参数估计恰好是最小二乘估计（后面还会说明）。

交互作用系数（$\hat{\beta}_{12}=0.5$）相对主效应系数 $\hat{\beta}_{1}$ 和 $\hat{\beta}_{2}$ 很小。我们把这一点理解为交互作用很小、可以忽略。因此删去 $0.5x_{1}x_{2}$ 项后得到模型

图 5.5 给出了该模型的图形表示。图 5.5a 是 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 各种组合所产生的 $y$ 值平面。这种三维图形称为响应曲面图（response surface plot）。图 5.5b 给出 $x_{1}, x_{2}$ 平面内等响应 $y$ 的等高线（contour lines）。注意因为响应曲面是一个平面，等高线图由平行的直线组成。

图 5.5 模型 $\hat{y} = 35.5 + 10.5x_{1} + 5.5x_{2}$ 的响应曲面与等高线图

图 5.6 模型 $\hat{y}=35.5+10.5x_{1}+5.5x_{2}+8x_{1}x_{2}$ 的响应曲面与等高线图

现在假设该试验中交互作用的贡献不可忽略，即系数 $\beta_{12}$ 不小。图 5.6 给出了模型

的响应曲面与等高线图。（这里我们让交互效应等于两个主效应的平均值。）注意显著的交互效应使图 5.6a 中的平面发生了"扭曲"。这种响应曲面的扭曲导致 $x_{1}, x_{2}$ 平面内等响应等高线成为曲线，如图 5.6b 所示。因此，交互作用是试验所对应的响应曲面模型中的一种弯曲形式。

试验的响应曲面模型极其重要且有用。我们将在 5.5 节以及后面几章中进一步讨论它。

一般地，当交互作用很大时，相应的主效应就没有多少实际意义了。对图 5.2 中的试验，我们会把 A 的主效应估计为

它非常小，我们会倾向于得出 A 没有效应的结论。然而，当我们考察 A 在因子 B 不同水平下的效应时，就会发现情况并非如此。因子 A 确实有影响，但它取决于因子 B 的水平。也就是说，关于 $AB$ 交互作用的知识比关于主效应的知识更有用。显著的交互作用常常会掩盖主效应的显著性。这些要点由图 5.4 的交互作用图清楚地表现出来。在存在显著交互作用时，试验者通常必须固定其他因子的水平来考察某个因子（比如说 A）的各个水平，才能就 A 的主效应作出结论。