第 4 章补充材料
S4.1 随机完全区组设计的相对效率 ¶ 在例 4.1 中，我们展示了随机完全区组设计 （randomized complete block design，RCBD）抑制噪声的特性。若考察总平方和 （total sum of squares）中未被处理 （treatment）解释的那一部分（302.14；见表 4.4），其中约 63%（192.25）是由区组 （block）之间的差异造成的。因此，如果我们当时采用完全随机设计，误差均方 （mean square for error）M S E MS_{E} M S E
估计 RCBD 相对于完全随机设计 （completely randomized design，CRD）的相对效率 （relative efficiency）常常是很有帮助的。定义该相对效率的一种方式是
R = ( d f b + 1 ) ( d f r + 3 ) ( d f b + 3 ) ( d f r + 1 ) ⋅ σ r 2 σ b 2 R = \frac{(df_{b}+1)(df_{r}+3)}{(df_{b}+3)(df_{r}+1)} \cdot \frac{\sigma_{r}^{2}}{\sigma_{b}^{2}} R = ( d f b + 3 ) ( d f r + 1 ) ( d f b + 1 ) ( d f r + 3 ) ⋅ σ b 2 σ r 2 其中 σ r 2 \sigma_{r}^{2} σ r 2 σ b 2 \sigma_{b}^{2} σ b 2 d f r df_{r} d f r d f b df_{b} d f b 自由度 （degrees of freedom）。若要使两种设计具有相同的灵敏程度，该统计量可以看作：与采用 RCBD 相比，采用 CRD 时需要增加的重复 （replication）次数。R R R
要计算相对效率，我们必须得到 σ r 2 \sigma_{r}^{2} σ r 2 σ b 2 \sigma_{b}^{2} σ b 2 M S E MS_{E} M S E σ b 2 \sigma_{b}^{2} σ b 2
σ ^ r 2 = ( b − 1 ) M S 区组 + b ( a − 1 ) M S E a b − 1 \hat{\sigma}_{r}^{2} = \frac{(b-1)MS_{\text{区组}} + b(a-1)MS_{E}}{ab-1} σ ^ r 2 = ab − 1 ( b − 1 ) M S 区组 + b ( a − 1 ) M S E 是 CRD 误差方差的无偏估计。为了说明这一过程，考虑例 4.1 中的数据。由于 M S E = 7.33 MS_{E} = 7.33 M S E = 7.33
σ ^ b 2 = 7.33 \hat{\sigma}_{b}^{2} = 7.33 σ ^ b 2 = 7.33 以及
σ ^ r 2 = ( b − 1 ) M S 区组 + b ( a − 1 ) M S E a b − 1 = ( 5 ) 38.45 + 6 ( 3 ) 7.33 4 ( 6 ) − 1 = 14.10 \begin{array}{r l}
\hat{\sigma}_{r}^{2} & = \frac{(b-1)MS_{\text{区组}} + b(a-1)MS_{E}}{ab-1} \\
& = \frac{(5)38.45 + 6(3)7.33}{4(6)-1} \\
& = 14.10
\end{array} σ ^ r 2 = ab − 1 ( b − 1 ) M S 区组 + b ( a − 1 ) M S E = 4 ( 6 ) − 1 ( 5 ) 38.45 + 6 ( 3 ) 7.33 = 14.10 因此，本例中 RCBD 相对效率的估计为
R = ( d f b + 1 ) ( d f r + 3 ) ( d f b + 3 ) ( d f r + 1 ) ⋅ σ r 2 σ b 2 = ( 15 + 1 ) ( 20 + 3 ) ( 15 + 3 ) ( 20 + 1 ) ⋅ 14.10 7.33 = 1.87 \begin{array}{r l}
R & = \frac{(df_{b}+1)(df_{r}+3)}{(df_{b}+3)(df_{r}+1)} \cdot \frac{\sigma_{r}^{2}}{\sigma_{b}^{2}} \\
& = \frac{(15+1)(20+3)}{(15+3)(20+1)} \cdot \frac{14.10}{7.33} \\
& = 1.87
\end{array} R = ( d f b + 3 ) ( d f r + 1 ) ( d f b + 1 ) ( d f r + 3 ) ⋅ σ b 2 σ r 2 = ( 15 + 3 ) ( 20 + 1 ) ( 15 + 1 ) ( 20 + 3 ) ⋅ 7.33 14.10 = 1.87 这意味着，若要获得与按金属试块（metal coupons）区组化相同的灵敏程度，采用完全随机设计时所需的重复次数大约要翻倍。
显然，在这个试验中区组化获得了丰厚的回报。然而，假设区组化其实并无必要。在这类情况下，如果试验者选择区组化，他们会损失什么？一般地，随机完全区组设计有 ( a − 1 ) ( b − 1 ) (a-1)(b-1) ( a − 1 ) ( b − 1 ) a ( b − 1 ) a(b-1) a ( b − 1 ) a ( b − 1 ) − ( a − 1 ) ( b − 1 ) = b − 1 a(b-1)-(a-1)(b-1)=b-1 a ( b − 1 ) − ( a − 1 ) ( b − 1 ) = b − 1
S4.2 部分平衡不完全区组设计 ¶ 尽管我们集中讨论的是平衡的情形，但还有若干其他类型的不完全区组设计偶尔证明很有用。平衡不完全区组设计 （balanced incomplete block design，BIBD）并非对所有我们可能想采用的参数组合都存在，因为要求 λ \lambda λ λ \lambda λ 部分平衡不完全区组设计 （partially balanced incomplete block design，PBID），其中某些处理对一起出现 λ 1 \lambda_{1} λ 1 λ 2 \lambda_{2} λ 2 λ m \lambda_{m} λ m λ i \lambda_{i} λ i
表 1 给出了一个 PBID 的例子。有些处理一起出现 λ 1 = 2 \lambda_{1}=2 λ 1 = 2 λ 2 = 1 \lambda_{2}=1 λ 2 = 1 区组内 （intrablock）分析。
表 1 一个部分平衡不完全区组设计
区组 处理组合 1 1 2 3 2 3 4 5 3 2 5 6 4 1 2 4 5 3 4 6 6 1 5 6
含两个相伴类的部分平衡不完全区组设计由下列参数描述：
有 a 个处理安排在 b 个区组中。每个区组包含 k 次运行，每个处理出现在 r 个区组中。
互为第 i 阶相伴的两个处理一起出现在 λ i \lambda_{i} λ i i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2
每个处理恰有 n i n_{i} n i i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 n i n_{i} n i
若两个处理互为第 i 阶相伴，则与其中一个处理互为第 j 阶相伴、同时与另一个处理互为第 k 阶相伴的处理数目为 p j k i p^{i}_{jk} p jk i ( i , j , k = 1 , 2 ) (i, j, k = 1, 2) ( i , j , k = 1 , 2 ) p j k i p^{i}_{jk} p jk i ( 2 × 2 ) (2 \times 2) ( 2 × 2 ) p j k i p^{i}_{jk} p jk i
对表 1 中的设计，我们很容易验证 a = 6 a = 6 a = 6 b = 6 b = 6 b = 6 k = 3 k = 3 k = 3 r = 3 r = 3 r = 3 λ 1 = 2 \lambda_{1} = 2 λ 1 = 2 λ 2 = 1 \lambda_{2} = 1 λ 2 = 1 n 1 = 1 n_{1} = 1 n 1 = 1 n 2 = 4 n_{2} = 4 n 2 = 4
{ p j k 1 } = [ 0 0 0 4 ] \{p^{1}_{jk}\} = \left[\begin{array}{c c} 0 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] { p jk 1 } = [ 0 0 0 4 ] 以及
{ p j k 2 } = [ 0 1 1 2 ] \left\{p^{2}_{jk}\right\} = \left[\begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right] { p jk 2 } = [ 0 1 1 2 ] 现在我们说明如何确定 p j k i p^{i}_{jk} p jk i 一阶相伴 （first associates）的处理，比如 1 和 2。对处理 1 而言，唯一的一阶相伴是 2，二阶相伴是 3、4、5 和 6。对处理 2 而言，唯一的一阶相伴是 1，二阶相伴是 3、4、5 和 6。把这些信息合起来就得到表 2。数一数该表各单元格中处理的数目，就得到上面给出的 { p j k 1 } \{p^{1}_{jk}\} { p jk 1 } { p j k 2 } \{p^{2}_{jk}\} { p jk 2 }
含两个相伴类的部分平衡不完全区组设计的线性统计模型为
y i j = μ + τ i + β j + ε i j y_{ij} = \mu + \tau_{i} + \beta_{j} + \varepsilon_{ij} y ij = μ + τ i + β j + ε ij 其中 μ \mu μ τ i \tau_{i} τ i β j \beta_{j} β j ε i j \varepsilon_{ij} ε ij ( 0 , σ 2 ) (0, \sigma^{2}) ( 0 , σ 2 )
Q i = y i . − 1 k ∑ j = 1 b n i j y . j Q_{i} = y_{i.} - \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{b} n_{ij}y_{.j} Q i = y i . − k 1 j = 1 ∑ b n ij y . j 称为第 i 个处理的经调整总和。我们还定义
S 1 ( Q i ) = ∑ s Q s 其中 s 与 i 是一阶相伴 S_{1}(Q_{i}) = \sum_{s} Q_{s} \quad \text{其中 } s \text{ 与 } i \text{ 是一阶相伴} S 1 ( Q i ) = s ∑ Q s 其中 s 与 i 是一阶相伴 Δ = k − 2 { ( r k − r + λ 1 ) ( r k − r + λ 2 ) + ( λ 1 + λ 2 ) \Delta = k^{-2}\{(rk-r+\lambda_{1})(rk-r+\lambda_{2}) + (\lambda_{1}+\lambda_{2}) Δ = k − 2 {( r k − r + λ 1 ) ( r k − r + λ 2 ) + ( λ 1 + λ 2 ) c 1 = ( k Δ ) − 1 [ λ 1 ( r k − r + λ 2 ) + ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 p 12 1 − λ 1 p 12 2 ) ] c_{1} = (k\Delta)^{-1}[\lambda_{1}(rk-r+\lambda_{2}) + (\lambda_{1}-\lambda_{2})(\lambda_{2}p^{1}_{12} - \lambda_{1}p^{2}_{12})] c 1 = ( k Δ ) − 1 [ λ 1 ( r k − r + λ 2 ) + ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 p 12 1 − λ 1 p 12 2 )] c 2 = ( k Δ ) − 1 [ λ 2 ( r k − r + λ 1 ) + ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 p 12 1 − λ 1 p 12 2 ) ] c_{2} = (k\Delta)^{-1}[\lambda_{2}(rk-r+\lambda_{1}) + (\lambda_{1}-\lambda_{2})(\lambda_{2}p^{1}_{12} - \lambda_{1}p^{2}_{12})] c 2 = ( k Δ ) − 1 [ λ 2 ( r k − r + λ 1 ) + ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 p 12 1 − λ 1 p 12 2 )] 第 i 个处理效应的估计为
τ ^ i = 1 r ( k − 1 ) [ ( k − c 2 ) Q i + ( c 1 − c 2 ) S 1 ( Q i ) ] \hat{\tau}_{i} = \frac{1}{r(k-1)}[(k-c_{2})Q_{i} + (c_{1}-c_{2})S_{1}(Q_{i})] τ ^ i = r ( k − 1 ) 1 [( k − c 2 ) Q i + ( c 1 − c 2 ) S 1 ( Q i )] 而经调整的处理平方和为
S S 处理（经调整） = ∑ i = 1 a τ ^ i Q i SS_{\text{处理（经调整）}} = \sum_{i=1}^{a}\hat{\tau}_{i}Q_{i} S S 处理（经调整） = i = 1 ∑ a τ ^ i Q i 方差分析 （analysis of variance）汇总于表 3。为检验 H 0 H_{0} H 0 τ i = 0 \tau_{i}=0 τ i = 0 F 0 = M S 处理（经调整） / M S E F_{0}=MS_{\text{处理（经调整）}}/MS_{E} F 0 = M S 处理（经调整） / M S E
表 2 处理与处理 1、2 的关系
处理 1 处理 2：一阶相伴 处理 2：二阶相伴 一阶相伴 二阶相伴 3,4,5,6
表 3 含两个相伴类的部分平衡不完全区组设计的方差分析
变异来源 平方和 自由度 处理（经调整） ∑ i = 1 a τ ^ i Q i \sum_{i=1}^{a}\hat{\tau}_{i}Q_{i} ∑ i = 1 a τ ^ i Q i a − 1 a-1 a − 1 区组 1 k ∑ j = 1 b y . j 2 − y . . 2 b k \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{b}y_{.j}^{2} - \frac{y_{..}^{2}}{bk} k 1 ∑ j = 1 b y . j 2 − bk y .. 2 b − 1 b-1 b − 1 误差 相减得到 b k − b − a + 1 bk-b-a+1 bk − b − a + 1 总和 ∑ i ∑ j y i j 2 − y . . 2 b k \sum_{i}\sum_{j}y_{ij}^{2} - \frac{y_{..}^{2}}{bk} ∑ i ∑ j y ij 2 − bk y .. 2 b k − 1 bk-1 bk − 1
可以证明，形如 τ ^ u − τ ^ v \hat{\tau}_{u}-\hat{\tau}_{v} τ ^ u − τ ^ v 对比 （contrast）的方差为
V ( τ u − τ v ) = 2 ( k − c i ) σ 2 r ( k − 1 ) V(\tau_{u}-\tau_{v}) = \frac{2(k-c_{i})\sigma^{2}}{r(k-1)} V ( τ u − τ v ) = r ( k − 1 ) 2 ( k − c i ) σ 2 其中处理 u 与 v 互为第 i 阶相伴 ( i = 1 , 2 ) (i = 1, 2) ( i = 1 , 2 )
我们只给出了区组内分析。关于区组间 （interblock）分析的细节，可参阅 Bose and Shimamoto (1952) 或 John (1971)。后一篇文献对不完全区组设计的一般理论作了很好的讨论。Bose, Clatworthy, and Shrikhande (1954) 给出了含两个相伴类的部分平衡不完全区组设计的一份内容广泛的表。
S4.3 尤登方 ¶ 尤登方 （Youden square）是“不完全”的拉丁方设计，其中列数不等于行数和处理数。例如，考虑表 4 所示的设计。注意，若给这个设计附加一列 ( E , A , B , C , D ) (E, A, B, C, D) ( E , A , B , C , D ) 5 × 5 5 \times 5 5 × 5
虽然尤登方总是某个缺失至少一列（或行、对角线）的拉丁方，但并非每个缺失一列以上（或行、对角线）的拉丁方都是尤登方。对拉丁方任意地删除一列以上（比如删除两列），就可能破坏其平衡性。一般地，尤登方是一个对称的平衡不完全区组设计，其中行对应于区组，且每个处理在区组的每一列或每个“位置”中恰好出现一次。因此，由所有对称平衡不完全区组设计都可以构造出尤登方，如 Smith and Hartley (1948) 所示。Davies (1956) 给出了一份尤登方表，Cochran and Cox (1957，第 13 章) 讨论了其他类型的不完全拉丁方。
表 4 一个用于五个处理（A、B、C、D、E）的尤登方
行 列 1 列 2 列 3 列 4 1 A B C D 2 B C D E 3 C D E A 4 D E A B 5 E A B C
尤登方的线性模型为
Y i j h = μ + α i + τ j + β h + ε i j h Y_{ijh} = \mu + \alpha_{i} + \tau_{j} + \beta_{h} + \varepsilon_{ijh} Y ijh = μ + α i + τ j + β h + ε ijh 其中，μ \mu μ α i \alpha_{i} α i τ j \tau_{j} τ j β h \beta_{h} β h ε i j h \varepsilon_{ijh} ε ijh ( 0 , σ 2 ) (0, \sigma^{2}) ( 0 , σ 2 ) 正交 （orthogonal）的。尤登方的分析与平衡不完全区组设计的分析相似，只是还可以计算位置总和之间的一个平方和。
尤登方示例
一位工业工程师正在研究五种光照水平对装配作业中缺陷发生情况的影响。由于时间可能是试验中的一个因素，她决定在五个区组中实施试验，每个区组是一周中的一天。然而，进行该试验的部门有四个工作站，这些工作站代表了潜在的可变性来源。这位工程师决定采用一个含五行（天或区组）、四列（工作站）和五个处理（光照水平）的尤登方。编码后的数据如表 5 所示。
表 5 例子中使用的尤登方设计
天（区组） 工作站 1 工作站 2 工作站 3 工作站 4 y i . . y_{i..} y i .. 处理总和 1 A=3 B=1 C=-2 D=0 2 y . 1. = 12 y_{.1.}=12 y .1. = 12 2 B=0 C=0 D=-1 E=7 6 y . 2. = 2 y_{.2.}=2 y .2. = 2 3 C=-1 D=0 E=5 A=3 7 y . 3. = − 4 y_{.3.}=-4 y .3. = − 4 4 D=-1 E=6 A=4 B=0 9 y . 4. = − 2 y_{.4.}=-2 y .4. = − 2 5 E=5 A=2 B=1 C=-1 7 y . 5. = 23 y_{.5.}=23 y .5. = 23 y . . h y_{..h} y .. h 6 9 7 9 y . . . = 31 y_{...}=31 y ... = 31
把这个设计看作平衡不完全区组设计，我们得到 a = b = 5、r = k = 4，以及 λ = 3 \lambda = 3 λ = 3
S S T = ∑ i ∑ j ∑ h y i j h 2 − y . . . 2 N = 183.00 − ( 31 ) 2 20 = 134.95 SS_{T} = \sum_{i}\sum_{j}\sum_{h} y_{ijh}^{2} - \frac{y_{...}^{2}}{N} = 183.00 - \frac{(31)^{2}}{20} = 134.95 S S T = i ∑ j ∑ h ∑ y ijh 2 − N y ... 2 = 183.00 − 20 ( 31 ) 2 = 134.95 Q 1 = 12 − 1 4 ( 2 + 7 + 9 + 7 ) = 23 / 4 Q_{1} = 12 - \frac{1}{4}(2+7+9+7) = 23/4 Q 1 = 12 − 4 1 ( 2 + 7 + 9 + 7 ) = 23/4 Q 2 = 2 − 1 4 ( 2 + 6 + 9 + 7 ) = − 16 / 4 Q_{2} = 2 - \frac{1}{4}(2+6+9+7) = -16/4 Q 2 = 2 − 4 1 ( 2 + 6 + 9 + 7 ) = − 16/4 Q 3 = − 4 − 1 4 ( 2 + 6 + 7 + 7 ) = − 38 / 4 Q_{3} = -4 - \frac{1}{4}(2+6+7+7) = -38/4 Q 3 = − 4 − 4 1 ( 2 + 6 + 7 + 7 ) = − 38/4 Q 4 = − 2 − 1 4 ( 2 + 6 + 7 + 9 ) = − 32 / 4 Q_{4} = -2 - \frac{1}{4}(2+6+7+9) = -32/4 Q 4 = − 2 − 4 1 ( 2 + 6 + 7 + 9 ) = − 32/4 Q 5 = 23 − 1 4 ( 6 + 7 + 9 + 7 ) = 63 / 4 Q_{5} = 23 - \frac{1}{4}(6+7+9+7) = 63/4 Q 5 = 23 − 4 1 ( 6 + 7 + 9 + 7 ) = 63/4 S S 处理（经调整） = k ∑ i = 1 a Q i 2 λ a = 4 [ ( 23 / 4 ) 2 + ( − 16 / 4 ) 2 + ( − 38 / 4 ) 2 + ( − 32 / 4 ) 2 + ( 63 / 4 ) 2 ] ( 3 ) ( 5 ) = 120.37 \begin{array}{r l}
SS_{\text{处理（经调整）}} & = \frac{k\sum_{i=1}^{a}Q_{i}^{2}}{\lambda a} \\
& = \frac{4[(23/4)^{2} + (-16/4)^{2} + (-38/4)^{2} + (-32/4)^{2} + (63/4)^{2}]}{(3)(5)} = 120.37
\end{array} S S 处理（经调整） = λa k ∑ i = 1 a Q i 2 = ( 3 ) ( 5 ) 4 [( 23/4 ) 2 + ( − 16/4 ) 2 + ( − 38/4 ) 2 + ( − 32/4 ) 2 + ( 63/4 ) 2 ] = 120.37 此外，
S S 天 = ∑ i = 1 b y i . . 2 k − y . . . 2 N = ( 2 ) 2 + ( 6 ) 2 + ( 7 ) 2 + ( 9 ) 2 + ( 7 ) 2 4 − ( 31 ) 2 20 = 6.70 SS_{\text{天}} = \sum_{i=1}^{b}\frac{y_{i..}^{2}}{k} - \frac{y_{...}^{2}}{N} = \frac{(2)^{2} + (6)^{2} + (7)^{2} + (9)^{2} + (7)^{2}}{4} - \frac{(31)^{2}}{20} = 6.70 S S 天 = i = 1 ∑ b k y i .. 2 − N y ... 2 = 4 ( 2 ) 2 + ( 6 ) 2 + ( 7 ) 2 + ( 9 ) 2 + ( 7 ) 2 − 20 ( 31 ) 2 = 6.70 以及
S S 工作站 = ∑ h = 1 k y . h 2 b − y . . . 2 N = ( 6 ) 2 + ( 9 ) 2 + ( 7 ) 2 + ( 9 ) 2 5 − ( 31 ) 2 20 = 1.35 SS_{\text{工作站}} = \sum_{h=1}^{k}\frac{y_{.h}^{2}}{b} - \frac{y_{...}^{2}}{N} = \frac{(6)^{2} + (9)^{2} + (7)^{2} + (9)^{2}}{5} - \frac{(31)^{2}}{20} = 1.35 S S 工作站 = h = 1 ∑ k b y . h 2 − N y ... 2 = 5 ( 6 ) 2 + ( 9 ) 2 + ( 7 ) 2 + ( 9 ) 2 − 20 ( 31 ) 2 = 1.35 以及
S S E = S S T − S S 处理（经调整） − S S 天 − S S 工作站 = 134.95 − 120.37 − 6.70 − 1.35 = 6.53 \begin{array}{r l}
SS_{E} & = SS_{T} - SS_{\text{处理（经调整）}} - SS_{\text{天}} - SS_{\text{工作站}} \\
& = 134.95 - 120.37 - 6.70 - 1.35 = 6.53
\end{array} S S E = S S T − S S 处理（经调整） − S S 天 − S S 工作站 = 134.95 − 120.37 − 6.70 − 1.35 = 6.53 区组效应或天效应可以通过计算区组的经调整平方和来考察。这给出
Q 1 ′ = 2 − 1 4 ( 12 + 2 − 4 − 2 ) = 0 / 4 Q_{1}^{\prime} = 2 - \frac{1}{4}(12+2-4-2) = 0/4 Q 1 ′ = 2 − 4 1 ( 12 + 2 − 4 − 2 ) = 0/4 Q 2 ′ = 6 − 1 4 ( 2 − 4 − 2 + 23 ) = 5 / 4 Q_{2}^{\prime} = 6 - \frac{1}{4}(2-4-2+23) = 5/4 Q 2 ′ = 6 − 4 1 ( 2 − 4 − 2 + 23 ) = 5/4 Q 3 ′ = 7 − 1 4 ( 12 − 4 − 2 + 23 ) = − 1 / 4 Q_{3}^{\prime} = 7 - \frac{1}{4}(12-4-2+23) = -1/4 Q 3 ′ = 7 − 4 1 ( 12 − 4 − 2 + 23 ) = − 1/4 Q 4 ′ = 9 − 1 4 ( 12 + 2 − 2 + 23 ) = 1 / 4 Q_{4}^{\prime} = 9 - \frac{1}{4}(12+2-2+23) = 1/4 Q 4 ′ = 9 − 4 1 ( 12 + 2 − 2 + 23 ) = 1/4 Q 5 ′ = 7 − 1 4 ( 12 + 2 − 4 + 23 ) = − 5 / 4 Q_{5}^{\prime} = 7 - \frac{1}{4}(12+2-4+23) = -5/4 Q 5 ′ = 7 − 4 1 ( 12 + 2 − 4 + 23 ) = − 5/4 S S 天（经调整） = r ∑ j = 1 b Q j ′ 2 λ b = 4 [ ( 0 / 4 ) 2 + ( 5 / 4 ) 2 + ( − 1 / 4 ) 2 + ( 1 / 4 ) 2 + ( − 5 / 4 ) 2 ] ( 3 ) ( 5 ) = 0.87 \begin{array}{r l}
SS_{\text{天（经调整）}} & = \frac{r\sum_{j=1}^{b}Q_{j}^{\prime 2}}{\lambda b} \\
& = \frac{4[(0/4)^{2} + (5/4)^{2} + (-1/4)^{2} + (1/4)^{2} + (-5/4)^{2}]}{(3)(5)} = 0.87
\end{array} S S 天（经调整） = λb r ∑ j = 1 b Q j ′2 = ( 3 ) ( 5 ) 4 [( 0/4 ) 2 + ( 5/4 ) 2 + ( − 1/4 ) 2 + ( 1/4 ) 2 + ( − 5/4 ) 2 ] = 0.87 完整的方差分析见表 6。光照水平在 1% 水平上显著不同。
表 6 尤登方例子的方差分析
变异来源 平方和 自由度 均方 F 0 F_{0} F 0 光照水平（经调整） 120.37 4 30.09 36.8 7 a 36.87^{a} 36.8 7 a 天（未调整） 6.70 4 - 天（经调整） (0.87) (4) 0.22 工作站 1.35 3 0.45 误差 6.53 8 0.82 总和 134.95 19
a ^{a} a
S4.4 格点设计 ¶ 考虑一个平衡不完全区组设计，其中 k 2 k^{2} k 2 b = k ( k + 1 ) b = k(k + 1) b = k ( k + 1 ) r = k + 1 r = k + 1 r = k + 1 平衡格点 （balanced lattice）。表 7 给出了一个例子，其中 k 2 = 9 k^{2}=9 k 2 = 9 k 2 − 1 k^{2}-1 k 2 − 1
当处理组合数目很大时，常常使用格点设计。为了缩小设计的规模，试验者可以转而采用部分平衡格点。我们非常简要地描述其中一些设计。含 k 2 k^{2} k 2 简单格点 （simple lattice）。例如，考虑表 7 中设计的前两个重复。部分平衡性很容易看出，因为举例来说，处理 2 与处理 1、3、5、8 出现在同一个区组中，但完全没有与处理 4、6、7、9 一起出现。含 k 2 k^{2} k 2 三重格点 （triple lattice）。表 7 中前三个重复就是这样一个例子。含 k 2 k^{2} k 2 四重格点 （quadruple lattice）。
表 7 一个 3 × 3 平衡格点设计
区组 重复 1 区组 重复 3 1 1 2 3 7 1 5 9 2 4 5 6 8 7 2 6 3 7 8 9 9 4 8 3 区组 重复 2 区组 重复 4 1 1 4 7 10 1 8 6 2 2 5 8 11 4 2 9 3 3 6 9 12 7 5 3
还有其他类型的格点设计偶尔也很有用。例如，立方格点设计 （cubic lattice design）可用于 k 3 k^{3} k 3 k 2 k^{2} k 2 k ( k + 1 ) k(k+1) k ( k + 1 ) k + 1 k+1 k + 1 矩形格点 （rectangular lattice）。格点设计的分析细节以及设计表可参见 Cochran and Cox (1957)。
补充参考文献 ¶ Bose, R. C. and T. Shimamoto (1952). “Classification and Analysis of Partially Balanced Incomplete Block Designs with Two Associate Classes”. Journal of the American Statistical Association, Vol. 47, pp. 151-184.
Bose, R. C. W. H. Clatworthy, and S. S. Shrikhande (1954). Tables of Partially Balanced Designs with Two Associate Classes. Technical Bulletin No. 107, North Carolina Agricultural Experiment Station.
Smith, C. A. B. and H. O. Hartley (1948). “Construction of Youden Squares”. Journal of the Royal Statistical Society Series B, Vol. 10, pp. 262-264.